2.2 余因子展開

2次や3次であれば比較的簡単に行列式を求めることができるが, 4次以上となると同様の手順で求めるのは少し難しくなる. そこで行列式を求める方法として,対象の行列をより小さな行列の行列式に分解するという方法が用いられる. そのために「余因子」という概念を導入する.

Definition 2.2 (行列の余因子) \(A \in \mathbb R^{n\times n}\)について,\(A\)から第\(i\)行と第\(j\)列を取り除いた行列を\(A_{ij}\)とする. このとき

\[\begin{align} \tilde A_{ij} = (-1)^{(i+j)} \det A_{ij} \end{align}\]

を行列\(A\)\(a_{ij}\)余因子という.

例えば,\(A \in \mathbb R^{3\times 3}\)の行列式の場合は,

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \]

以下のように9つの\(A_{ij} \in \mathbb R^{2\times 2}\)という余因子を得ることができる.

\[\begin{align} \begin{matrix} \tilde A_{11} = (-1)^{(1+1)} \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} & \tilde A_{12} = (-1)^{(1+2)} \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} & \tilde A_{13} = (-1)^{(1+3)} \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \\ \tilde A_{21} = (-1)^{(2+1)} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} & \tilde A_{22} = (-1)^{(2+2)} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} & \tilde A_{23} = (-1)^{(2+3)} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \\ \tilde A_{31} = (-1)^{(3+1)} \det \begin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} & \tilde A_{32} = (-1)^{(3+2)} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{pmatrix} & \tilde A_{33} = (-1)^{(3+3)} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \\ \end{matrix} \end{align}\]

Exercise 2.2 (余因子) 次の行列について余因子を全て求めよ.

\[\begin{align} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align}\]