2 Pravdepodobnosť

Na začiatku si potrebujeme zopakovať množinovú symboliku. Táto predstavuje absolútny základ, bez ktorého sa nedá zmysluplne pokračovať. Plynulosť v používaní matematických symbolov uľahčuje dôvodenie a argumentáciu. Zápis je potom kompaktný a univerzálny, nezávislý od nuáns špecifického jazyka.

2.1 Množinové značenie

Množinou budeme nazývať súhrn objektov/prvkov.

Množina je konečná, ak má konečne veľa prvkov. Napríklad \(M = \{1,2,8\}\) má tri prvky.

Množina je spočitateľná, ak má nanajvýš spočitateľne veľa prvkov. Napríklad \(M_1 = \{1,22,-2\}\) alebo \(M_2 = \{2,4,6,8,\dots\}.\) Množina \(M\) je teda spočitateľná, ak existuje nejaké injektívne zobrazenie z množiny \(M\) do množiny prirodzených čísel \(\mathbb{N}\). Inými slovami, prvkov v množine \(M\) nie je “príliš veľa”.

Množina \(M_1\) je podmnožinou \(M_2,\) označujeme \(M_1 \subset M_2\) ak platí, že každý element \(M_1\) je zároveň aj elementom v \(M_2,\) teda ak platí \(\forall m: m \in M_1 \implies m \in M_2.\)

Množinu \(M\), ktorá nemá žiadne prvky nazývame prázdna a označujeme \(M = \emptyset.\)

Zjednotením dvoch množín \(M_1\) a \(M_2\) nazývame množinu, ktorej prvky sa nachádzajú buď v množine \(M_1\) alebo v množine \(M_2.\) Zjednotenie dvoch množín označujeme ako \(M_1 \cup M_2\).

Zjednotením viacerých (nanajvýš spočitateľne veľa) množín \(M_1, M_2, M_3,\dots\) nazývame množinu, ktorej prvky sa nachádzajú aspoň v jednej z množín \(M_1, M_2, M_3, \dots\). Zjednotenie viacerých množín označujeme ako \(M_1 \cup M_2 \cup M_3 \cup \dots = \cup_{i=1}^{\infty} M_i\) alebo ako \(M_1 \cup M_2 \cup M_3 \cup \dots \cup M_n = \cup_{i=1}^{n} M_i\) pre zjednotenie konečného počtu množín.

Prienikom dvoch množín \(M_1\) a \(M_2\) nazývame množinu, ktorej prvky sa nachádzajú aj v \(M_1\) aj v \(M_2.\) Prienik dvoch množín označujeme ako \(M_1 \cap M_2\).

Dve množiny \(M_1\) a \(M_2\) nazývame disjunktné, ak ich spoločný prienik je prázdna množina, teda \(M_1 \cap M_2 = \emptyset.\)

Prienikom viacerých (nanajvýš spočitateľne veľa) množín \(M_1, M_2, M_3,\dots\) nazývame množinu, ktorej prvky sa nachádzajú v každej jednej z množín \(M_1, M_2, M_3, \dots\). Prienik viacerých množín označujeme ako \(M_1 \cap M_2 \cap M_3 \cap \dots = \cap_{i=1}^{\infty} M_i\) alebo ako \(M_1 \cap M_2 \cap M_3 \cap \dots \cap M_n = \cap_{i=1}^{n} M_i\) pre prienik konečného počtu množín.

Mnohokrát dáva zmysel uvažovať o všetkých možných objektov/prvkov. Priestor označuje súhrn všetkých možných objektov. Častokrát ako notáciu používame veľké zakrútené písmená, napr. \(\mathcal{M}\). Napríklad ak hovoríme o tom, aké číslo padne na kocke, tak priestor je \(\{1,2,3,4,5,6\}.\)

Nech \(\mathcal{M}\) je priestor a nech \(M \subset \mathcal{M}.\) Potom komplementom množiny \(M\) (vzhľadom na priestor \(\mathcal{M}\)), označovaným ako \(M^C\), nazývame množinu tých objektov z priestoru \(\mathcal{M}\), ktoré nie sú v \(M.\)

Nejaké príklady:

  • Pre každú množinu \(M\) platí:
    • \(M \cup M = M\),
    • \(M \cap M = M\) a
    • \(M \cap \emptyset = \emptyset.\)
  • Ak \(M_1 \subset M_2\) potom
    • \(M_1 \cup M_2 = M_2\) a
    • \(M_1 \cap M_2 = M_1\)
  • Ak \(M_i = \{x: 0 < x < \frac{1}{i} \}, \ k = 1,2,3,\dots\) potom \(\cap_{i=1}^{\infty} M_i = \emptyset\)
  • Ak \(M_i = \{x: \frac{1}{i+1} < x \leq \frac{1}{i} \}, \ k = 1,2,3,\dots\) potom \(\cup_{i=1}^{\infty} M_i = (0,1]\)
  • Ak \(M_1 = \{(a,b), (a,a) \}\) a \(M_2 = \{(a,b), (b,b) \}\) potom
    • \(M_1 \cap M_2 = \{ (a,b) \}\) a
    • \(M_1 \cup M_2 = \{ (a,b), (a,a), (b,b) \}\)
  • Nech \(x\) je počet hláv pri 3 hodoch mincou. Potom priestor je množina \(\mathcal{M}=\{ 0,1,2,3\}.\)
  • \(\mathcal{M}^C = \emptyset.\)
  • Nech \(M \subset \mathcal{M}.\) Potom
    • \(M \cup M^C = \mathcal{M}\),
    • \(M \cap M^C = \emptyset\),
    • \(M\cup\mathcal{M} = \mathcal{M}\),
    • \(M\cap\mathcal{M} = M\),
    • \((M^C)^C = M\).

Užitočným nástrojom sú DeMorganove zákony. (Ukážte ich formálne ako cvičenie, pomôžte si Vennovými diagramami.)

  • \((M_1 \cap M_2)^C = M_1^C \cup M_2^C\)
  • \((M_1 \cup M_2)^C = M_1^C \cap M_2^C\)

Pre operácie prieniku \(\cap\) a zjednotenia \(\cup\) platia distributívne zákony

  • \(M_1 \cap (M_2 \cup M_3) = (M_1 \cap M_2) \cup (M_1 \cap M_3)\),
  • \(M_1 \cup (M_2 \cap M_3) = (M_1 \cup M_2) \cap (M_1 \cup M_3)\).

2.2 Pravdepodobnostný priestor

Teraz zadefinujeme dôležitý pojem - pravdepodobnostný priestor.

Uvažujme nasledovnú trojicu:

\[(\Omega, \mathcal{F}, P)\] s týmito vlastnosťami:

  • \(\Omega\) je priestor, teda nejaká neprázdna množina. Bude to množina všetkých možných prípadov, ako môže dopadnúť experiment.

  • \(\mathcal{F}\) je množina podmnožín \(\Omega\). Teda prvky nachádzajúce sa v \(\mathcal{F}\) sú množiny. \(\mathcal{F}\) bude označovať množinu udalostí. No a udalostiam budeme chciet priraďovať pravdepodobnosť.5

  • \(P\) je pravdepodobnostná funkcia alebo skrátene len pravdepodobnosť. Je to funkcia \(\mathcal{F} \rightarrow [0,1].\) Každej udalosti priradí číslo medzi 0 a 1. Funkcia \(P\) musí spĺňať nasledovné vlastnosti:

    1. \(P(A) \geq 0\) pre všetky udalosti \(A.\) Pravdepodobnosť je nezáporná funkcia.
    2. \(P(\Omega) = 1.\) Pravdepodobnosť je zhora ohraničená funkcia číslom 1.
    3. \(P\left(\cup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\) pre akékoľvek disjunktné udalosti \(A_1, A_2, A_3,\dots\) Tejto vlastnosti sa hovorí aj spočitateľná aditivita. V prípade dvoch udalostí \(A\) a \(B\) máme, že pravdepodobnosť, že nastane udalosť A alebo udalosť B, teda \(P(A \cup B)\) je rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, teda \(P(A) + P(B)\).

Túto trojicu \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) nazývame pravdepodobnostný priestor.

Príklad 2.1 (Férová kocka) Ako prvý príklad hádžme férovou kockou.

  • \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\),
  • \(\mathcal{F} = 2^{\Omega},\) teda všetky možné podmnožiny \(\Omega\),
  • \(P(A) = \frac{|A|}{6},\) kde \(|A|\) označuje počet prvkov množiny \(A\).

Teraz

  • Aká je pravdepodobnosť, že padne šestka? \(P(\{6\}) = \frac{|\{6\}|}{6} = \frac{1}{6}\)
  • Aká je pravdepodobnosť, že párne číslo? \(P(\{2,4,6\}) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Príklad 2.2 (Neférová kocka) Teraz poďme hádzať pre zmenu neférovou kockou.

  • \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\),
  • \(\mathcal{F} = 2^{\Omega},\) teda všetky možné podmnožiny \(\Omega\),
  • \(P(\{1\})=P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=P(\{5\})= \frac{1}{7},\) a \(P(\{6\})=\frac{2}{7}\).

Všimnime si, že teraz nám netreba zadefinovať pravdepodobnosť \(P\) pre úplne všetky možné udalosti. Využítím vlastnosti funkcie \(P\) vieme napríklad, že \(P(\{1,2\}) = P(\{1\} \cup \{2\}) = P(\{1\}) + P(\{2\}) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7},\) kvôli tomu, že udalosti \(\{1\})\) a \(\{2\}\)disjunktné. Preto sme nepotrebovali zadefinovať samotnú \(P(\{1,2\}).\) Poľahky sme si ju dopočítali.

Ďalej si môžeme všimnúť, že

\[\begin{eqnarray*} P(\Omega) &=& P(\{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \{4\} \cup \{5\} \cup \{6\}) \\ &=& P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{4\})+P(\{5\})+P(\{6\}) \end{eqnarray*}\]

Preto musí platiť, že \(P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{4\})+P(\{5\})+P(\{6\})=1\) inak by nebola splnená vlastnosť \(P(\Omega) = 1\) a teda by funkcia \(P\) nemohla byť pravdepodobnosťou.

  • Aká je pravdepodobnosť, že padne šestka? \(P(\{6\}) = \frac{2}{7}\)
  • Aká je pravdepodobnosť, že párne číslo? \(P(\{2,4,6\}) = P(\{2\})+P(\{4\})+P(\{6\}) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}\)

Odteraz aj potom neskôr, pri akejkoľvek otázke/úlohe/cvičení budeme potichu predpokladať, že pravdepodobnostný priestor v rámci ktorého sa dá odpovedať na danú otázku/úlohu/cvičenie existuje.6 7

2.3 Vlastnosti pravdepodobnosti

Dôkaz každého z týchto tvrdení skoro okamžite uvidíte, ak si nakreslíte Vennov diagram. Alebo keď si len nahlas prečítate, čo tieto tvrdenia hovoria:

  • Pre každú udalosť \(A\) platí
    • \(P(A^C) = 1-P(A)\) - Ak je pravdepodobnosť, že dostanem chorobu \(0.05\), potom je pravdepodobnosť, že nedostanem chorobu \(1-0.05 =0.95\).
    • \(0 \leq P(A) \leq 1\) - Pravdepodobnosť nutne musí ležať medzi nula a jeden.
  • Ak \(A \subset B\) potom platí \(P(A) \leq P(B)\) - Pravdepodobnosť je monotónna.
  • Pre každé dve udalosti \(A\) a \(B\) platí
    • \(P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B)\) - Pravdepodobnosť, že nastane udalosť \(A\) a súčasne nenastane udalosť \(B\) je rovná pravdepodobnosti, že nastane \(A\) zníženej o pravdepodobnosť toho, že nastanú naraz obe udalosti \(A\) aj \(B\).
    • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) - Pravdepodobnosť, že nastane udalosť \(A\) alebo udalosť \(B\) je súčet týchto pravdepodobností znížený o ich pravdepodobnosť prieniku (lebo tento zarátame dva razy).

Je dôležité vedieť tieto tvrdenia dokázať len z vlastností (1), (2), (3) pravdepodobnosti.

2.4 Kombinátorika

V mnohých stredoškolských príkladoch týkajúcich sa pravdepodobnosti sa spomínajú pojmy ako permutácie, kombinácie, s opakovaním/bez opakovania a podobne. Toto je častokrát zdrojom nepochopenia a chýb, lebo si študent/ka pre daný príklad nejaký z týchto pojmov vyberie a potom použije naučenú formulku. Nečudo, že mnohokrát nesprávne. Toto je nebezpečné, lebo si potom napríklad v praxi nebudú vedieť zrátať šancu, že budú mať čistú postupku alebo že si vytiahnu 3 modré guličky.

Vo väčšine prípadov ide len o aplikáciu nasledujúceho vzťahu:

\[P(A) = \frac{\text{počet úspešných pokusov (teda udalosť $A$ nastane)}}{\text{počet všetkých možných pokusov}}.\] Takže stačí nám ak budeme vedieť efektívne počítať počet možností. Potom ich dáme do pomeru a máme pravdepodobnosť.

Využívajú sa nasledovné zákonistosti:

  • Koľkými možnými spôsobmi môžeme usporiadať všetky objekty množiny \(\{a_1, a_2, a_3, \dots a_n\}\) do radu keď záleží na poradí?
     Na prvé miesto môžeme dať \(n\) rôznych objektov, na druhé miesto už len \(n-1\) rôznych objektov (lebo sme si už jeden objekt minule) at ďalej a na posledné miesto nám už zostal len \(1\) objekt. Dokopy je teda možností \(n \cdot (n-1) \cdot \ \dots \ \cdot 1 = n!.\)
  • Koľkými možnými spôsobmi môžeme usporiadať \(k\) rôznych objektov z množiny \(\{a_1, a_2, a_3, \dots a_n\}\) do radu keď záleží na poradí?
     Na prvé miesto môžeme dať \(n\) rôznych objektov, na druhé miesto už len \(n-1\) rôznych objektov (lebo sme si už jeden objekt minule) at ďalej a na \(k\)-te miesto nám už zostalo len \(n-k+1\) rôznych objektov. Dokopy je teda možností \(n \cdot (n-1) \cdot \ \dots \ \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.\)
  • Koľkými možnými spôsobmi môžeme vybrať \(k\) rôznych objektov z množiny \(\{a_1, a_2, a_3, \dots a_n\}\) keď nezáleží na poradí?
     Ak by bolo záležalo na poradí, bolo by ich \(\frac{n!}{(n-k)!}\). Tu sme len použili predošlú úvahu. Ale v našom prípade nezáleží na poradí. A preto sú tam niektoré výbery viacejkrát. Konkrétne: rôznych usporiadaní \(k\) objektov je \(k!\), teda toľkokrát ich je tam viacej. Odpoveď na našu otázku je preto \(\frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = {{n}\choose{k}}.\) Zaujimavým dôsledkom je

\[(a+b)^n = (a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b) = \sum_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}} a^k b^{n-k},\]

nakoľko \({{n}\choose{k}}\) je počet možností ako možno vybrať \(k\) objektov z množiny \(n\) objektov.

Pri všetkých príkladoch typu karty/mince/kocky robíme, často implicitne, nejaké rozumné alebo polorozumné predpoklady. Keď napríklad povieme “hádžeme 3 krát kockou”, tak tým v skutočnosti myslíme “nezávisle hádžeme 3 krát férovou kockou”. Sada predpokladov, ktorá umožňuje prepísať danú úlohu do matematického jazyka a vypočítať je väčšinou zrejmá. V realite ale nikdy nehádžeme úplne nezávisle a žiadna kocka nie je úplne férová. Zjednodušenia pri kockách sú prirodzené a nekontroverzné. Pri reálnych príkladoch je však potreba explicitne vymenovať sadu predpokladov výrazne dôležitejšia. Matematický model, teda sada predpokladov, je totiž len teoreticky rámec úplne uzavretého systému, v ktorom sa veľmi dobre pracuje. Adekvátnosť modelu, teda to, ako dobre mapujú zjednodušenia realitu je aspekt, ktorý sa nedá charakterizovať matematickými prostriedkami.

Príklad 2.3 Raketoplán Challenger mal 2 raketové moduly, ktoré ho mali dostať na obežnú dráhu. Každý modul mal 3 gumové tesnenia, ktorých pravdepodobnosť zlyhania pri určitej teplote bola \(0.1\). Vypočítajte pravdepodobnosť úspešného letu.

Asi by ste hneď vypočítali: \((1-0.1)^6 \approx 0.531.\) Je toto správne riešenie?

Samotné zadanie príkladu robí nejaké zjednodušenia, ktoré môžu byť neadekvátne.

  • “Pravdepodobnosť zlyhania tesnenia je fixná, rovnakých 10% pre všetky tesnenia.” - tesnenie bližšie k palivovému agregátu môže byť náchylnejšie na zlyhanie.

Zároveň na to, aby sme vypočítali tento príklad, musíme urobiť veľmi vážne zjednodušenia.

  • “Úspešný let je vtedy ked nezlyhá žiadne tesnenie.” - Let však môže zlyhať kvôli mnohým iným dôvodom.
  • “Zlyhania jednotlivých tesnení sú nezávislé.” - Možno zlyhanie jedného tesnenia ovplyvní zlyhanie iného. Napríklad ak sú blízko seba.

To či sú alebo nie sú tieto predpoklady rozumné matematik sám nevie posúdiť, treba na to pohľad experta na raketové motory.

2.5 Zhrnutie

Základným objektom s ktorým budeme pracovať je pravdepodobnostný priestor. Je to trojica: \(\Omega\) hovorí ako môže dopadnúť experiment, \(\mathcal{F}\) je množina všetkých podmnožín, ktorým priraďujeme pravdepodobnosť a \(P\) je samotná pravdepodobnostná funkcia, ktorá musí byť spočitateľne aditívna. Keď máme konkrétny príklad, je dobré si uvedomiť, čo vlastne príslušný pravdepodobnostný priestor je. Vnesie to do nášho rozmýšlania poriadok. Toto je dôležité, aby sme vedeli správne zrátať počet “úspešných” a počet “všetkých” spôsobov ako môže dopadnúť experiment a tým pádom aj pravdepodobnosť. Rovnaký problém môže byť uchopený cez rôznu formuláciu pravdepodobnostného priestoru.

2.6 Cvičenia

Cvičenie 2.1 Aký je rozdiel medzi \(\{a,b\}\) a \((a,b)\)?

Cvičenie 2.2 Aký je rozdiel medzi \(A \in \mathcal{M}\) a \(A \subset \mathcal{M}\)?

Cvičenie 2.3 Nájdite komplement množiny \(M\) vzhľadom na priestor \(\mathcal{M}.\)

  1. \(M = \{1,2,3,4\}\) a \(\mathcal{M} = \{1,2,3,4,5,6\}\)

  2. \(M = \{(x,y): x^2 + y^2 < 2 \}\) a \(\mathcal{M} = \{(x,y): x^2 + y^2 \leq 4\}\)

  3. \(M = \{x: 0 < x < 1\}\) a \(\mathcal{M} = [0,1]\)

Cvičenie 2.4 Uvažujme dve udalosti \(A\) a \(B\), také, že \(P(A) = 0.3\) a \(P(B) = 0.6.\)

Vypočítajte \(P(A^C\cap B)\) ak viete, že platí jedna z nasledovných podmienok:

  1. Udalosti \(A\) a \(B\) sú disjunktné;

  2. \(A\) je podmnožinou \(B\);

  3. pravdepodobnosť toho, že naraz nastanú udalosti \(A\) aj \(B\) je \(0.1\).

Cvičenie 2.5 Nech je silne zamorenom prostredí pravdepodobnosť bakteriálnej infekcie \(0.4\) a pravdepodobnosť nákazy spôsobej vírusom nech je \(0.8\). Aká je najväčšia a najmenšia pravdepodobnosť, že človek sa nakazí aj baktériou aj vírusom?

Cvičenie 2.6 Uvažujme nasledovnú situáciu: jedenkrát hodíme férovou mincou a nezávisle od toho jedenkrát hodíme férovou kockou.

  1. Zostrojte pravdepodobnostný priestor, ktorý zodpovedá tejto situácii.
  2. Aká je pravdepodobnosť, že padne hlava a zároveň nepárne číslo?

Cvičenie 2.7 Uvažujme nasledovnú situáciu: trikrát za sebou hodíme férovou kockou. Jednotlivé hody sú nezávislé.

  1. Zostrojte pravdepodobnostný priestor, ktorý zodpovedá tejto situácii.
  2. Aká je pravdepodobnosť, že padne súčet väčší ako 5?

Cvičenie 2.8 Náhodne vyberieme tri rôzne prirodzené čísla z množiny \(\{1,2,3,\cdots,20 \}.\)

  1. Aká je pravdepodobnosť, že ich súčet bude párne číslo?
  2. Aká je pravdepodobnosť, že ich súčin bude párne číslo?

Cvičenie 2.9 Vo vreci je 50 súčiastok, z nich dve sú chybné. Náhodne načrieme rukou vyberieme 5 z nich.

  1. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jedna z nich bude chybná?
  2. Koľko súčiastok musíme vybrať aby šanca, že nájdeme aspoň jednu chybnú súčiastku bola väčšia ako 50% ?
Ilustrácia načierania rukou do vreca s 50 súčiastkami.

Obrázok 2.1: Ilustrácia načierania rukou do vreca s 50 súčiastkami.

Cvičenie 2.10 Ukážte, že zo spočitateľnej aditivity (vlastnosť (3) pravdepodobnosti) vyplýva konečná aditivita, teda, že platí \(P\left(\cup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\) pre akékoľvek disjunktné udalosti \(A_1, A_2, A_3,\dots,A_n\)

Cvičenie 2.11 Formálne ukážte vlastnosti pravdepodobnosti z časti 2.3.

Cvičenie 2.12 Ukážte, že pre hocijaké dve udalosti \(A\) a \(B\) je pravdepodobnosť, že nastane práve jedna z udalostí \(A\) a \(B\) je daná nasledovným výrazom \[P(A) + P(B) - 2P(A \cap B).\]

Cvičenie 2.13 Nech je \(A_1, A_2, \dots\) akákoľvek postupnosť udalostí a nech \(B_1, B_2, \dots\) je postupnosť definovaná nasledovne: \(B_1 = A_1\), \(B_2 = A_1^C \cap A_2\), \(B_3 = A_1^C \cap A_2^C \cap A_3\), \(B_4 = A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C \cap A_4\) a tak ďalej. Ukážte, že pre všetky \(n=1,2,3,\dots\) platí \[P\left( \cup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i).\]

Cvičenie 2.14 (Bonferroniho nerovnosť) Ukážte, že pre udalosti \(A_1, A_2, \dots, A_n\) platí \[P\left( \cup_{i=1}^{n} A_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\] a \[P\left( \cap_{i=1}^{n} A_i \right) \geq 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i^C).\]

Cvičenie 2.15 Nech \(A\), \(B\) a \(D\) sú nejaké udalosti, také, že \(P(A \cup B \cup D ) = 0.3.\) Aká je hodnota \(P(A^C \cap B^C \cap D^C)\)?

Cvičenie 2.16 Nech \(A\), \(B\) a \(D\) sú nejaké udalosti. Použitím Vennoveho diagramu ukážte, že

\[\begin{eqnarray*} P(A \cup B \cup C) &=& P(A) + P(B) + P(C) \\ && - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(A \cap C) \\ && + P(A \cap B \cap C). \end{eqnarray*}\]

Cvičenie 2.17 Majme vrecúško s farebnymi guličkami. Konkrétne sa v ňom nachádza \(č\) červených guličiek, \(b\) bielych guličiek a \(m\) modrých guličiek. Postupne vyberáme po jednej guličke z vrecúška tak, že ich nedávame naspäť. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahneme všetky červené guličky ešte predtým, než vytiahneme nejakú bielu?

Cvičenie 2.18 (*Princíp zapojenia a vypojenia) Nech \(A_1, A_2,\dots,A_n\) sú nejaké udalosti. Ukážte, že platí \[\begin{eqnarray*} P\left(\cup_{i=1}^n A_i\right) &=& \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i\cap A_j) \\ && + \sum_{i<j<k} P(A_i\cap A_j \cap A_k) - \sum_{i<j<k<l} P(A_i\cap A_j \cup A_k \cap A_l)+ \dots\\ && + (-1)^{n+1}P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \dots \cap A_n). \end{eqnarray*}\]

Domáca úloha 1

Cvičenie 2.19 (DÚ 1.1) Označme \(A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 4, x > 1\}\) a \(B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x| + |y| < 1\}.\) Zobrazte množinu \(A \cap B^C.\)

Cvičenie 2.20 (DÚ 1.2) Uvažujme nasledovnú situáciu: trikrát hodíme férovou mincou.

  1. Zostrojte pravdepodobnostný priestor, ktorý zodpovedá tejto situácii. Podrobne popíšte jeho elementy.
  2. Aká je pravdepodobnosť, že padne hlava aspoň 2 krát?

Cvičenie 2.21 (DÚ 1.3) Použítím vlastností funkcie pravdepodobnosti formálne (nakresliť Vennov diagram nestačí) ukážte, že platí \[P(A\cap B^C)= P(A) - P(A \cap B).\]

Cvičenie 2.22 (DÚ 1.4) Test pozostáva z 20 otázok, každá má možnosti (a), (b), (c) a práve jedna odpoveď je správna. Aká je pravdepodobnosť, že študent, ktorý sa nič neučil zodpovie aspoň 2 otázky správne?

Cvičenie 2.23 (DÚ 1.5) Máme 3 bežcov v tíme A a 3 bežcov v tíme B. Všetci sa zúčastnia preteku a výkonnosť všetkých je rovnaká. Aká je pravdodobnosť, že všetci z tímu A budú rýchlejší ako všetci z tímu B a zároveň Jozef Kopelka z tímu A bude druhý?

Cvičenie 2.24 (DÚ 1.6) Balíček 52 kariet je náhodne rozdelený medzi 4 hráčov a každý dostane 13 kariet. Aká je pravdepodobnosť, že všetky 4 esá skončia u (nejakého) jedného hráča?