Chapter 4 大数定律与中心极限定理

4.1 收敛性(公众号：i44统计考研)

4.1.1 掌握依概率收敛的定义，以及判断方法：（1）定义，常常会用到切比雪夫不等式；（2）弱大数定律。注意6.2节的弱相合性和依概率收敛的关系。

4.1.2 掌握依分布收敛的定义，以及判断方法：（1）定义（2）特征函数（3）中心极限定理（4）Slutsky 定理和 $\delta$ 方法

另外需掌握补充的依概率1收敛和r阶矩收敛的定义，以及各种收敛之间的关系。

4.1.1 课本重点习题

定理4.1.1,定理4.1.2（这个证明课程可参看我的讲解视频，比较简单）和定理4.1.3

4.1.2 课后重点习题

1-3，5，8-11的结论需掌握，对应Slutsky 定理，12-15，17-20，第17题同6.2节课后9题总结到一起。

(4.1.15) 设 $\left\{ x_{n}\right\}$ 为独立同分布随机变量序列， ${x_{n}} \sim U(0,1)$ ,令 $T=(\prod_{i=1}^{n} x_{i})^{\frac{1}{n}}$ ,试证：
1. T依概率收敛于 $e^{-1}$ ;
2. $\sqrt{n}(T-e^{-1} )$ 依分布收敛于 $N(0,e^{-2})$ .

4.2 特征函数(公众号：i44统计考研)

4.2.1 需掌握特征函数的定义，会计算一些基本分布的特征函数，

4.4.2 需掌握性质4.2.1-4.2.5，会利用这些性质计算分布的特征函数，

定理4.2.1-4.2.3了解即可，证明过程不要求掌握。会利用定理4.2.4和定理4.2.6证明依分布收敛。定理4.2.5掌握结论即可，了解特征函数与密度函数的关系。

4.2.1 课本重点习题

例4.2.1，例4.2.2，例4.2.3，例4.2.4，例4.2.6

4.2.2 课后重点习题

5-15

4.3 大数定律(公众号：i44统计考研)

掌握各种大数定律的条件和证明过程，尤其是马尔科夫条件，在独立同分布前提下，大数定律本质上是样本均值 $\bar{X}$ 依概率收敛到总体均值 $\mu$ 。课本上给出的都是弱大数定律。

4.3.1 课本重点习题

例4.3.2，例4.3.3，

4.3.2 课后重点习题

4，10-14，

4.4 中心极限定理(公众号：i44统计考研)

掌握独立同分布下的中心极限定理，即林德伯格-莱维中心极限定理，本质上提供了样本均值 $\bar{X}$ 的分布（正态分布）；

对于棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，要掌握修正方法，尤其是考查 $P(S_{n}=k)$ ，这时一定要修正，这是因为对于正态随机变量，它在某一点处的概率为0；基于 $P\left(Y_{n}^{\bullet} \leqslant y\right) \approx \Phi(y)=\beta$ ,会解答三类计算问题.

独立不同分布下的中心极限定理了解即可。

4.4.1 课本重点习题

例4.4.3-例4.4.8

4.4.2 课后重点习题

1，4，5，10，11，16，24，26，27

补充习题：求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-n t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n t)^{k}}{k !}, t>0$ .