Ejercicio de probabilidad condicional

El teorema de Bayes se basa principalmente en la probabilidad condicional, es decir, dado que ocurre un evento, ¿qué probabilidad existe de que ocurra otro? Este teorema suele ser sumamente útil y bastante aplicado a algoritmos de Machine Learning como los árboles de decisión, pero ¿cómo se aplica en un ejercicio práctico? En realidad es muy sencillo, consideremos el siguiente ejemplo:

1. Para determinar si una persona tiene hepatitis se le hace un examen de sangre de cierto tipo. La aceptación de éste procedimiento se basa en lo siguiente: entre personas con hepatitis, el 80% de los exámenes de sangre descubren la enfermedad pero el 20% fallan al hacerlo. Entre personas sin hepatitis, el 5% diagnostican erradamente como casos de hepatitis y el 95% de los exámenes dan el diagnóstico correcto. Tomemos una persona cualquiera de un numeroso grupo de los cuales el 1% tiene hepatitis ¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad dado que falló la prueba?

Respuesta: Dado que las probabilidades siguen dos caminos de fallos con diferentes probabilidades, se puede armar el siguiente árbol de decisión:

A partir del arbol de decisión podemos hacer uso de la fórmula del teorema de Bayes, la cual es:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) · P(A)}{P(B)}$$

Donde $A$ y $B$ son los eventos ocurridos, $P(A \mid B)$ la probabilidad de que ocurra $A$ dado $B$, $P(B \mid A)$ la probabilidad de que ocurra $B$ dado $A$, $P(A)$ y $P(B)$ las probabilidades de cada evento individual. Ahora, sustituyendo los datos del problema en la fórmula:

$$P(H \mid EH ) = \frac{P (H) * P (EH \mid H) }{ P(H) P(EH \mid H) + P(NH)*P(EH \mid NH) }$$ Por tanto, tendríamos lo siguiente:

$$P(H \mid EH ) = \frac{(0.01)*(0.8)}{(0.01)*(0.8)+(0.99)*(0.05)}$$ En la consola de R podemos hacer rápidamente el cálculo, obteniendo:

(0.01*0.8)/((0.01*0.8)+(0.99*0.05))

## [1] 0.1391304

Por lo tanto, la probabilidad de que alguien realmente tenga la enfermedad dado que falló la prueba sería del 13%.