Formalmente hablando, un indice de precios es conocido como una media ponderada de las variaciones entre dos periodos de tiempo de las cantidades producidas de un grupo de bienes y servicios, mientras que un índice de precios se refiere a lo mismo, una media ponderada de la variación en dos periodos, pero ahora de los precios. Los índices usualmente suelen adoptar un valor de 100, para representarlos en porcentaje, o de 1, para representarlos en tantos por uno, por lo que la nomenclatura puede causar confusión al lector, sin embargo, ambas ponderaciones representan la misma cantidad, pudiendo ser usadas de manera libre por el/la economista sin que ello represente ningún cambio.
Para poder comprender los indices de manera más sencilla, hay que dejar en claro algunas relaciones matemáticas. La relación existente entre la cantidad/precio de un producto en el periodo \(t+1\) con la cantidad o precio del mismo en el periodo t es conocida como el ratio entre cantidad o ratio entre precios, dependiendo del caso. Dichos ratios son, generalmente, el punto de partida de la mayoría de los indices utilizados para calcular esas diferencias, encontrándose diferencias únicamente en la ponderación dada a cada aspecto, a pesar de que la idea es la misma. Los cuatro principales índices que se analizarán a continuación son: El índice de Laspeyres, el índice de Paasche, el índice de Edgeworth y el índice de Fisher.
Generalmente, el índice de Laspeyres es usado en las mediciones económicas como una medida de la variación del volumen, siendo una media ponderada del ratio de las cantidades entre el valor de ellas, lo que dicho de otra forma, es una media ponderada de los ratios de las cantidades producidas en la economía, la cual puede expresarse en la siguiente ecuación:
\[\begin{equation} L_{Q}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\frac{Q_{it+1}}{Q_{it}}*V_{it}}{\sum_{i=1}^{n}*V_{it}} \end{equation}\] Donde \(V_{it}\) es el valor de producción total y el periodo \(t\) como el año base con el que se va a comparar la variación de cantidades. El índice de Laspeyres también puede ser utilizado considerar la variabilidad en los precios, por lo que la ecuación 1.28 puede ser modificada a: \[\begin{equation} L_{P}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\frac{P_{it+1}}{P_{it}}*V_{it}}{\sum_{i=1}^{n}*V_{it}} \end{equation}\] Ahora, regresando a la ecuación 1.28, sabemos que \(V_{i}\) es equivalente a \(P_{i}*Q_{i}\), por lo que la ecuación puede ser simplificada de la siguiente manera: \[\begin{equation} L_{Q}=\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t}} \end{equation}\] Siendo las ecuaciones última y penúltima similares algebraicamente, por lo que utilizando cualquiera de ambas, se obtendrá el mismo resultado para calcular la variación de los precios/cantidades. Ahora, también se debe de considerar que el índice de Laspeyres es que presupone que las cantidades en el año base siempre son las mismas (razón por la que usualmente es utilizado para calcular variaciones en cantidades y no en precios), por lo que dada dicha inconveniencia que puede ser poco realista a lo largo del tiempo, se implementó el índice de Paasche.
Este índice es definido de manera recíproca al índice de Laspeyres, aplicando los valores a precios corrientes en el periodo \(t+1\) como ponderaciones, utilizando una media armónica (índice no ponderado que es igual a la inversa de la media aritmética) del precio y el ratio de las cantidades en lugar de la media aritmética. El índice en cuestión puede ser expresado con la siguiente ecuación: \[\begin{equation} P_{P}=\frac{\sum_{i=1}^{n}V_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}V_{t+1}*\frac{P_{t}}{P_{t+1}}} \end{equation}\] Al igual que con el índice de Laspeyres, \(V_{it+1}\) equivale a \(P_{it+1}+Q_{it+1}\), por lo que la ecuación 1.31 puede ser simplificada por la expresión siguiente: \[\begin{equation} P_{P}=\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{t+1}*Q_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t+1}} \end{equation}\] Como se puede observar en la ecuación anterior, lo que permanece constante es la variación en los volúmenes de producción, teniendo un inverso del índice de Laspeyres, lo que de hecho resulta bastante útil si obtenemos la variación en volumen por el índice de Laspeyres y la variación de los precios por el índice de Paasche, por lo que se puede inferir que al obtener el producto de ambos índices en una sola ecuación, entonces habremos obtenido la variación en valor (precio por cantidad) de los bienes y servicios a precios corrientes (nominales) en una economía, lo que puede ser expresado de la siguiente manera: \[\begin{equation} L_{Q}*P_{P}=\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t}}*\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{t+1}*Q_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t+1}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}V_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}V_{t}} \end{equation}\] De hecho, la ecuación anterior nos muestra que la variación de un agregado a precios corrientes es igual a multiplicar el índice de volumen por el índice de precios. La ecuación anterior es utilizada comúnmente como “deflactor”, por ejemplo, cuando se quiere obtener indirectamente el índice de volumen, por lo que se divide la variación relativa del valor entre el índice de precios calculo por el método de Paasche, lo que de hecho es una forma más sencilla de calcular el volumen, lo que puede verse de la siguiente manera: \[\begin{equation} L_{Q}=\frac{\frac{\sum_{i=1}^{n}V_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}V_{t}}}{P_{P}} \end{equation}\]
Como hemos visto anteriormente, tanto el índice de Laspeyres como el de Paasche tienen ventajas y desventajas, en la obtención de información y en sus resultados, por lo tanto, no existe ningún índice que cumpla todos los requisitos para ser el ideal. El índice de Laspeyres tiende a sobreponderar los bienes cuyos precios aumentan (darle “más peso a la inflación”), mientras que por el contrario, el índice de Paasche tiende a sobreponderar los bienes cuyos precios disminuyen (darle “menor peso a la inflación”), por lo que una forma de compensar dichas desventajas en ambos casos fue la de implementar el índice ideal de Fisher, que se basa en una media geométrica de los números índices anteriormente discutidos, por lo que en particular verifica el criterio de la inversión temporal y el criterio de la inversión de factores, teniendo la siguiente ecuación: \[\begin{equation} F_{P}=\sqrt{(\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{t+1}*Q_{t}}{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t}})(\frac{\sum_{i=1}^{n}P_{t+1}*Q_{t+1}}{\sum_{i=1}^{n}P_{t}*Q_{t+1}})} \end{equation}\] Sin embargo, a pesar de que este índice trata de compensar los problemas de los otros dos, en cuentas nacionales no es muy usado debido a que su interpretación sigue a discusión entre los economistas actualmente, motivo por el que no nos detendremos mucho a analizar este índice.
Para la obtención de índices de precios/cantidades haremos uso del paquete micEconIndex, el cual nos ahorrará mucho trabajo de cálculo. Los datos a utilizar provendrán del paquete micEcon, por lo que no es necesario que el lector tenga que descargar ninguna base de datos externa a la consola de R. A continuación presentamos el método para ello:
# Cargamos los respectivos paquetes
library(micEconIndex)
library(micEcon)
# Visualizamos los datos
data( Missong03E7.7, package = "micEcon" )
head(Missong03E7.7)## p.beef q.beef p.veal q.veal p.pork q.pork
## 1986 11.31 1.270 13.68 0.068 8.20 3.829
## 1987 11.22 1.225 13.94 0.066 8.03 3.727
## 1988 11.64 1.149 14.79 0.048 8.03 3.365
## 1989 12.66 0.958 16.06 0.033 9.24 2.854Como podemos observar, la base cuenta con 3 variables para precios y 3 para cantidades respectivamente, los cuales se distribuyen a lo largo de 4 años. Ahora, procederemos a calcular índices de precios con la función priceIndex. Primero, hay que analizar rápidamente la función que vamos a implementar. Para poder obtener de manera correcta los respectivos índices hay que darle a la función un vector de precios, el cual fue el primero que indicamos (c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" )), después, hay que darle un vector de cantidades (c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" )), después indicamos el año base, la base de datos de donde obtendremos la información y el método que vamos a utilizar para calcular el índice (en esta última parte podemos no escribir nada y la función va a calcular un índice de Laspeyres por default). A continuación se presentan los resultados:
# Indices de precios
# Indice de Laspeyres
priceIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 1, Missong03E7.7, method = "Laspeyres" )## 1986 1987 1988 1989
## 1.0000000 0.9839897 0.9966514 1.1254719# Indice de Paasche
priceIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 1, Missong03E7.7, method = "Paasche" )## 1986 1987 1988 1989
## 1.0000000 0.9839652 0.9966153 1.1251109# Indice de Fisher
priceIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 1, Missong03E7.7, method = "Fisher" )## 1986 1987 1988 1989
## 1.0000000 0.9839775 0.9966334 1.1252914Podemos observar que el al ser la primer observación el año base entonces tendremos un valor de 1. Si decidieramos cambiar de año base a, por ejemplo, 1988, simplemente tendremos que indicarle a la función que queremos que nuestro año base sea el de la tercera observación de la siguiente manera:
# Indice de Laspeyres con año base 1988
priceIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 3, Missong03E7.7, method = "Laspeyres" ) ## 1986 1987 1988 1989
## 1.0033962 0.9872673 1.0000000 1.1290490Ahora, para calcular los índices de cantidades la metodología es prácticamente la misma, pero en lugar de usar la función priceIndex utilizaremos la función quantityIndex, de la siguiente manera:
# Indices de cantidades
# Indice de Laspeyres
quantityIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 1, Missong03E7.7, method = "Laspeyres" )## 1986 1987 1988 1989
## 1.0000000 0.9706006 0.8833432 0.7429413# Indice de Paasche
quantityIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 1, Missong03E7.7, method = "Paasche" )## 1986 1987 1988 1989
## 1.0000000 0.9705765 0.8833112 0.7427030# Indice de Fisher
quantityIndex( c( "p.beef", "p.veal", "p.pork" ),
c( "q.beef", "q.veal", "q.pork" ), 1, Missong03E7.7, method = "Fisher" )## 1986 1987 1988 1989
## 1.0000000 0.9705885 0.8833272 0.7428221De igual manera, si quisieramos cambiar el año base para los índices de cantidades lo haríamos de la misma manera que con el índice de precios, ya que ambas funciones tienen la misma secuencia.
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