Prueba de hipótesis para la comparación de dos proporciones

Bioestadística básica

Pérez-Guerrero EE; PhD

Posgrados CUCS

Contenido

  • Distribución \(\chi^2\)
  • Tablas de contingencia
  • Prueba de \(\chi^2\)
  • Prueba exacta de Fisher

Introducción

Un grupo de investigadores desea conocer si saltarse el desayuno se asocia con la obesidad. Para ello, plantean un estudio en el que se incluyó dos grupos de individuos: uno integrado por individuos que si se saltaban el desayuno y otro grupo en el que los individuos desayunaban todos los días. Se identificó cuantas personas con sobrepeso había en cada uno de los grupos y se realizó la prueba estadística pertinente.

La prueba indicada para resolver esta pregunta es la prueba \(\chi^2\)

Distribución \(\chi^2\)

Propiedades de la distribución \(\chi^2\)

  • Es una distribución que contiene solo valores positivos
  • No sigue un forma de campana
  • Esta formada por cada uno de los valores de \(Z\) de datos aleatorios elevada al cuadrado
  • Se describe por una función exponencial
  • Tiene \(n\) grados de libertad

Definición de la distribución \(\chi^2\)

Dada una variable aleatoria \(y\) que sigue una distribución normal, con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) cada valor puede transformarse en la variable normal estándar \(z\) por medio de la siguiente formula:

\[z= \frac{y_i-\mu}{\sigma}\]

Definición de la distribución \(\chi^2\)

Cada valor de \(z\) puede elevarse al cuadrado para obtener \(z^2\). Cuando se estudia la distribución muestra de \(z^2\), se observa que sigue una distribución \(\chi^2\) con 1 grado de libertad. Es decir:

\[\chi^2_{(1)}= \lgroup\frac{y_i-\mu}{\sigma}\rgroup=z^2\]

Definición de la distribución \(\chi^2\)

Si todos los datos aleatorios de una muestra se eleva al cuadrado se obtiene:

\[\chi^2_{(n)}= z^2_1+z^2_2+ \cdot \ \cdot \ \cdot+ z^2_n\] Es la suma de los valores \(z^2\) resultantes tendrá una distribución \(\chi^2\), con \(n\) grados de libertad

Después de realizar una integral, la formula matemática de las distribución \(\chi^2\) es la siguiente:

\[f(u)=\frac{1}{\lgroup\frac{k}{2}-1\rgroup!}\ \frac{1}{2^{k/2}}u^{(k/2)-1}e^{-(u/2)}, u>0\]

Definición de la distribución \(\chi^2\)

\[f(u)=\frac{1}{\lgroup\frac{k}{2}-1\rgroup!}\ \frac{1}{2^{k/2}}u^{(k/2)-1}e^{-(u/2)}, u>0\]

Donde:

  • \(e\) es el número irracional 2.71828
  • \(k\) es el numero de grados de libertad.
  • \(u\) es \(\chi\)

La media y la variancia de la distribución \(\chi^2\) son, respectivamente, \(k\) y \(2k\).

Gráfica de la distribución \(\chi^2\)

Funciones para la distribución \(\chi^2\) en R

  • dchisq es la función densidad, permite graficar una distribución
  • pchisq dado un valor de \(\chi^2\) con \(n\) grados de libertad devuelve la probabilidad de encontrar ese valor
  • qchisq dada una probabilidad devuelve de encontrar ese valor en la distribución \(\chi^2\) con \(n\) grados de libertad
  • rchisq genera datos a aleatorios de una distribución \(\chi^2\)

Tablas de contingencia

Las tablas de contingencia permiten resumir datos de variables categóricas, es el primer paso para la realización de una prueba \(\chi^2\)

Tablas de contingencia

  • Es una de las formas más comunes de resumir datos categóricos
  • Se realizan para estudiar si existe asociación entre una variable categórica (fila) y otra variable categórica (columna). De forma general, se acepta que en las filas se muestra la exposición y en las columnas el evento.
  • Una tabla de contingencia es una tabla que cuenta las observaciones por múltiples variables categóricas. Las filas y columnas de las tablas corresponden a estas variables categóricas.
  • Se consideran \(X\) y \(Y\) dos variables categóricas con \(I\) y \(J\) categorías

Ejemplo

  • Sea \(X\) una variable categórica que indica si toma aspirina o placebo (I=2)
  • Sea \(Y\) una variable categórica que indica si sufrió ataque cardíaco (J=3)
Mortal No mortal No ataque Totales
Placebo 18 171 10845 11304
Aspirina 5 99 10933 11037

La función table en R

Importar base para ejemplo

   low age lwt race smoke ptl ht ui ftv  bwt
85   0  19 182    2     0   0  0  1   0 2523
86   0  33 155    3     0   0  0  0   3 2551
87   0  20 105    1     1   0  0  0   1 2557
88   0  21 108    1     1   0  0  1   2 2594
89   0  18 107    1     1   0  0  1   0 2600
91   0  21 124    3     0   0  0  0   0 2622

La función table en R

Si queremos conocer cuantos pacientes fuman y de forma separada cuantos recién nacidos presentaron bajo peso al nacer podemos emplear el siguiente código:

La función table en R

Si queremos conocer cuantos pacientes fuman y de forma separada cuantos recién nacidos presentaron bajo peso al nacer podemos emplear el siguiente código:

smoke
  0   1 
115  74 
low
  0   1 
130  59

Las anteriores son solo tablas de frecuencias, no una tabla de contingencia.

La función table en R

Se pueden crear tablas de contingencia con la función table ingresando dos variables.

La función table en R

     low
smoke  0  1
    0 86 29
    1 44 30
   smoke
low  0  1
  0 86 44
  1 29 30

La función table en R

¿Y si quisieramos proporciones?

     race
smoke    1    2    3
    0 0.44 0.16 0.55
    1 0.52 0.10 0.12
    smoke
race    0    1
   1 0.44 0.52
   2 0.16 0.10
   3 0.55 0.12

El resultado anterior también se puede hacer utilizando la función prop.table

La función prop.table

Con esta función podemos obtener tablas de contingencia con proporciones

     race
smoke          1          2          3
    0 0.23280423 0.08465608 0.29100529
    1 0.27513228 0.05291005 0.06349206
    smoke
race          0          1
   1 0.23280423 0.27513228
   2 0.08465608 0.05291005
   3 0.29100529 0.06349206

La función prop.table

Se puede calcular las proporciones por columnas o por filas, cambiando un argumento. Se utiliza 1 para filas y 2 para columnas.

     race
smoke         1         2         3
    0 0.3826087 0.1391304 0.4782609
    1 0.7027027 0.1351351 0.1621622
    smoke
race         0         1
   1 0.3826087 0.7027027
   2 0.1391304 0.1351351
   3 0.4782609 0.1621622

Algunos ejemplos de tablas de contingencia

Ejemplo de tabla de contingencia

Ejemplo de tabla de contingencia

Prueba de \(\chi^2\)

Prueba de \(\chi^2\)

La prueba de ji cuadrado (\(\chi^2\)) de Pearson es una prueba estadística de contraste de hipótesis que se aplica para analizar datos recogidos en forma de número de observaciones en cada categoría (conteos):

  • Número de éxitos que ha tenido una intervención.
  • Porcentaje de pacientes que presentan una característica.
  • Proporción de resultados favorables obtenidos de grupo de pacientes con tratamientos distintos.

La prueba de chi-cuadrada se basa en la independencia de dos criterios de clasificación

Datos observados vs Datos esperados

La prueba de \(\chi^2\) utiliza la diferencia de valores observados vs los datos esperado

  • Las frecuencias observadas son el número de objetos o individuos en la muestra que caen dentro de las diversas categorías de la variable de interés

  • Las frecuencias esperadas son el número de objetos o de individuos en la muestra que se esperaría observar si alguna hipótesis nula respecto a la variable es verdadera

Entre más grande sea la diferencia entre los valores esperados y los observados menos probabilidad hay que los resultados sean debidos al azar

El estadístico de prueba

Para obtener el estadístico de prueba se emplea la siguiente formula:

\[\chi^2= \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \displaystyle\sum_{j=1}^{c}\bigg[\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E{ij}}\bigg]\]

donde: donde \(O_{ij}\) es la frecuencia observada y \(E_{ij}\) es la frecuencia esperada para la celda ij

Pasos para la prueba de \(\chi^2\)

  1. Tomar muestras aleatorias de las poblaciones de interés. Las variables deben ser independientes

  2. Clasificar cada sujeto según las categorías de cada variable en estudio. Tablas de contingencia

  3. Anotar los conteos o frecuencias en un cuadro de contingencia.

  4. Calcular las frecuencias esperadas para cada celda.

  5. Comparar las frecuencias esperadas y observadas mediante.

  6. Comparar el valor calculado de \(\chi^2\) con el valor tabulado de \(\chi^2\)

  7. Determinar el valor de \(p\)

Determinación de las frecuencias esperadas

Cuando dos eventos son independientes, la probabilidad de su ocurrencia conjunta es igual al producto de sus probabilidades individuales. La probabilidad de que un sujeto tomado al azar en esta población esté caracterizado por algún nivel de ambos criterios se estima mediante:

\[E_{ij}=\bigg(\frac{n_i}{n}\bigg)\bigg(\frac{n_j}{n}\bigg)n\]

o bien:

\[E_{ij}=\frac{(n_i)(n_j)}{n}\]

Determinación de las frecuencias esperadas

\[E_{ij}=\frac{(n_i)(n_j)}{n}\]

Tratamiento Favorable Desfavorable Total
Placebo 16 (a) 48 (b) 64 \((n_j)\)
Test 40 (c) 20 (d) 60 \((n_j)\)
Total 56 \((n_i)\) 68 \((n_i)\) 124 \((n)\)

Determinación de las frecuencias esperadas

\[E_{ij}=\frac{(n_i)(n_j)}{n}\]

Tratamiento Favorable Desfavorable Total
Placebo 16 (a) 48 (b) 64 \((n_j)\)
Test 40 (c) 20 (d) 60 \((n_j)\)
Total 56 \((n_i)\) 68 \((n_i)\) 124 \((n)\)

\[a=\frac{(56)(64)}{124}=56\]

Determinación de las frecuencias esperadas

\[E_{ij}=\frac{(n_i)(n_j)}{n}\]

Tratamiento Favorable Desfavorable Total
Placebo 16 (a) 48 (b) 64 \((n_j)\)
Test 40 (c) 20 (d) 60 \((n_j)\)
Total 56 \((n_i)\) 68 \((n_i)\) 124 \((n)\)

\[a=\frac{(56)(64)}{124}=56\]

Determinación de las frecuencias esperadas

\[E_{ij}=\frac{(n_i)(n_j)}{n}\]

Tratamiento Favorable Desfavorable Total
Placebo 16 (a) 48 (b) 64 \((n_j)\)
Test 40 (c) 20 (d) 60 \((n_j)\)
Total 56 \((n_i)\) 68 \((n_i)\) 124 \((n)\)

Determinar los otros valores

Determinación de las frecuencias esperadas

\[b=\frac{(68)(64)}{124}=35.1\] \[c=\frac{(56)(60)}{124}=27.1\]

\[d=\frac{(68)(60)}{124}=32.9\]

Grados de libertad

Para calcular los grados de libertad se utiliza la fórmula: \(gl = (r – 1)(c – 1)\), donde \(gl\) son los grados de libertad, \(r\) es el número de renglones o filas y \(c\) es el número de columnas.

Para una tabla de dos por dos los grados de libertad son 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1.

Dado el siguiente conjunto de datos, determine si la proporción con dos o más hipoglucemiantes orales es independiente entre los grupos. Utilice \(\alpha=0.10\)

Tratamiento Dos hipoglucemiantes Un hipoglucemiante Total
Grupo 1 16 (a) 134 (b) 150 \((n_j)\)
Grupo 2 6 (c) 119 (d) 125 \((n_j)\)
Total 22 \((n_i)\) 253 \((n_i)\) 275 (n)

Hipótesis

  • \(H_0:\) el uso de dos o más hipoglucemiantes orales por parte de un enfermo de diabetes es independiente del grupo al que pertenece (no hay relación entre las variables)

  • \(H_A\):el uso de dos o más hipoglucemiantes orales por parte de un enfermo de diabetes no es independiente del grupo al que pertenece (hay relación entre la variables)

  • \(H_A\):el uso de dos o más hipoglucemiantes orales por parte de un enfermo de diabetes es dependiente del grupo al que pertenece (hay relación entre la variables)

Supuestos y datos

Descripción de la población que interesa y planteamiento de los supuestos necesarios.

  1. La población es nominal. Para este caso, las respuestas son del tipo “sí” o “no”.

  2. No existen frecuencias esperadas pequeñas (en todo caso, este supuesto puede confirmarse durante el procedimiento mediante el cual se calcula el estadístico de prueba).

  3. Los sujetos que conforman las muestras han sido seleccionados de manera independiente.

  4. El estadístico indicado es \(\chi^2\)

Determinar los valores esperados

Dado el siguiente conjunto de datos, determine si la proporción con dos o más hipoglucemiantes orales es independiente entre los grupos. Utilice \(\alpha=0.10\)

Tratamiento Dos hipoglucemiantes Un hipoglucemiante Total
Grupo 1 16 (a) 134 (b) 150 \((n_j)\)
Grupo 2 6 (c) 119 (d) 125 \((n_j)\)
Total 22 \((n_i)\) 253 \((n_i)\) 275 (n)

Determinar los valores esperados

\[a=\frac{(22)(150)}{275}=12\] \[b=\frac{(253)(150)}{275}=138\] \[c=\frac{(22)(125)}{275}=10\] \[d=\frac{(253)(125)}{275}=115\]

Calculo del valor de \(\chi^2\) de mis datos

\[\chi^2= \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \displaystyle\sum_{j=1}^{c}\bigg[\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E{ij}}\bigg]\]

\[\chi^2=\frac{(16-12)^2}{12}+\frac{(134-138)^2}{138}+\frac{(6-10)^2}{10}+\frac{(119-115)^2}{115}=3.2\]

Criterios de decisión

El valor crítico de la prueba, que define las regiones de rechazo y aceptación, se localiza de la siguiente manera:

  1. La prueba de \(\chi^2\) siempre es una prueba a una cola (derecha).

  2. Para la prueba de \(\chi^2\),la región de rechazo se encuentra a la derecha de la distribución y está formada por aquella parte de la distribución \(\chi^2\) que incluye todos los valores de \(\chi^2\) tales que, cuando \(H_0\) es verdadera, la probabilidad de ocurrencia aleatoria de una p de ese tamaño o menor es igual o mayor de \(alpha\)

Criterios de decisión

  1. lo que intentamos probar es la dependencia de los datos

la región de rechazo se encuentra a la derecha de la distribución

Valor de \(\chi^2\) de tablas

qchisq(0.10, df=1, lower.tail = F)
[1] 2.705543

Para calcular los grados de libertad se utiliza la fórmula: \(gl = (r – 1)(c – 1)\), donde \(gl\) son los grados de libertad, \(r\) es el número de renglones o filas y \(c\) es el número de columnas.

Para una tabla de dos por dos los grados de libertad son 1

Gráfica hipotética para el valor crítico

Gráfica hipotética para el valor crítico

Gráfica hipotética para el valor crítico

Gráfica hipotética para el valor crítico

Decisión y conclusión.

  • Se rechaza la \(H_0\) porque 3.12 es mayor a 2.7, es decir, está más a la derecha de la curva. la región de rechazo se encuentra a la derecha de la distribución

  • Estos valores nos indican que los datos son dependientes, es decir, que el valor observado en las frecuencias del uso de dos hipoglucemiantes, si depende del grupo.

Decisión y conclusión.

  • La proporción de individuos con dos o más hipoglucemiantes es distinta entre los grupos. En el grupo 1 la proporción fue de 0.107 mientras que la del grupo 2 fue 0.048

Calculo de \(p\)

En R se utiliza la función pchisq

pchisq(q=3.12, df=1, lower.tail = F)
[1] 0.07733678
pchisq(3.12,1, lower.tail = F)
[1] 0.07733678

Ejemplo práctico

Ejemplo práctico

El propósito de un estudio realizado por Vermund et al. era investigar la hipótesis de que las mujeres infectadas con VIH que también están infectadas con el papiloma virus humano (PVR), tienen mas probabilidad de tener anormalidades citológicas cervicales que las mujeres con uno de los dos virus mencionados.

Ejemplo práctico

Los datos son los siguientes:

PVH Seropositivo sintomático Seropositivo asintomático Seronegativo Total
Positivo 23 4 10 37
Negativo 10 14 35 59
Total 33 18 45 96

Se pretende conocer si es posibles concluir que existe relación entre el estadio del PVH y la etapa de la infección

Hipótesis

  • \(H_0\):
    • Las variable son independientes.
    • No hay relación entre el estadio del PVH y la etapa de la infección por VIH.
    • Las proporciones de mujeres en las distintas etapas del VIH son iguales independientemente de la co-infección por PVH

Hipótesis

  • \(H_A\):
    • las variables son dependientes
    • Hay relación entre el estadio del PVH y la etapa de la infección por VIH.
    • Las proporciones de mujeres en las distintas etapas del VIH son diferentes independientemente de la co-infección por PVH

Frecuencias observadas y esperadas

Para la primer casilla en el lado superior izquierdo el cálculo es: 33*37/96

PVH Seropositivo sintomático Seropositivo asintomático Seronegativo Total
Positivo 23 (12.72) 4 (6.94) 10 (17.34) 37
Negativo 10 (20.28) 14 (11.06) 35 (27.66) 59
Total 33 18 45 96

Valor de \(\chi^2\) de mis datos

\[\chi^2= \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \displaystyle\sum_{j=1}^{c}\bigg[\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E{ij}}\bigg]\]

Sustituyendo:

\[\chi^2=\frac{(23-12.72)^2}{12.72}+\frac{(4-6.94)^2}{6.94}+\cdot \cdot \cdot+\frac{(35-27.66)^2}{27.66}=20.60\]

Valor de \(\chi^2\) de tablas

qchisq(p=0.05,df=2, lower.tail = F)
[1] 5.991465
qchisq(0.05,2, lower.tail = F)
[1] 5.991465

Para calcular los grados de libertad se utiliza la fórmula: \(gl = (r – 1)(c – 1)\), donde \(gl\) son los grados de libertad, \(r\) es el número de renglones o filas y \(c\) es el número de columnas.

\(gl = (2 – 1)(3 – 1)=2\)

Valor de \(p\)

pchisq(q=20.60, df=2, lower.tail = F)
[1] 3.36331e-05
pchisq(20.60, 2, lower.tail = F)
[1] 3.36331e-05

Ejercicio 2 de práctica

Ejercicio 2 de práctica

Un grupo de investigadores desea conocer, si el fumar en el primer trimestre del embarazo se asocia al bajo peso de los recién nacidos. Estos datos fueron capturados en la base de datos “birthwt”. Utilice \(\alpha\) de 0.05, construya un gráfico de barras y reporte los valores esperados por casilla

Ejercicio 2 de práctica

Se puede crear una tabla con los datos para facilitar la resolución del ejercicio.

tab1<-table(smoke, low)
tab1
     low
smoke  0  1
    0 86 29
    1 44 30

Ejercicio 2 de práctica

Se puede crear un gráfico de barras para que nos oriente de las frecuencias de los recién nacidos con peso bajo entre las mujeres que fumaron en el primer trimestre del embarazo y las que no

Ejercicio 2 de práctica

Ejercicio 2 de práctica

Para realizar la prueba de \(\chi^2\) utilice el siguiente código

chisq.test(tab1)

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  tab1
X-squared = 4.2359, df = 1, p-value = 0.03958
chisq.test(smoke,low)

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  smoke and low
X-squared = 4.2359, df = 1, p-value = 0.03958

Corrección de Yates

Con frecuencia utilizamos aproximaciones con distribuciones de probabilidad continuas para resolver contrastes de hipótesis con variables que siguen una distribución discreta. En estos casos, debemos aplicar una corrección de continuidad, siendo la más conocida la corrección de continuidad de Yates.

La distribución \(\chi^2\) puede perder su continuidad cuando se tienen valores pequeños en las casillas de la tabla de contingencia

¿Cómo concluiría?

¿Cómo concluirían?

Extraer parámetros

Es posible extraer parámetros de la función chis.test si se guarda en un objeto

x2tab1<-chisq.test(tab1)
x2tab1$observed
     low
smoke  0  1
    0 86 29
    1 44 30
x2tab1$p.value
[1] 0.03957697
x2tab1$expected
     low
smoke        0        1
    0 79.10053 35.89947
    1 50.89947 23.10053

Utilizando ggstatplot

En ggstastplot también se puede realizar la prueba de \(\chi^2\) aunque no permite la realización de la prueba exacta de Fisher (que veremos más adelante).

Responda la sigueinte pregunta:

¿Fumar durante el embarazo se asocia al bajo peso al nacer?

Utilizando ggstatplot

library(ggstatsplot)
ggbarstats(data=birthwt,
           x=low,
           y=smoke, 
           type = "parametric",
           title = "Asociación del bajo peso al nacer \n con el antecedente de fumar",
           subtitle = "Utilizando Ji cuadrada")

Utilizando ggstatplot

Prueba exacta de fisher

Frecuencias esperadas pequeñas

  • Cuando las frecuencias esperadas para cada celda son grandes, el estadístico X 2 calculado se aproxima a la distribución chi-cuadrada. Sin embargo, cuando las frecuencias esperadas son pequeñas, esta aproximación no es tan cercana y su utilización puede conducir a errores de interpretación.

Frecuencias esperadas pequeñas

  • Se considera que, cuando las frecuencias esperadas son iguales o mayores de 5, son lo suficientemente grandes para utilizar la distribución de chi-cuadrada, aunque generalmente se acepta como adecuada su utilización en cuadros de contingencia con más de cuatro celdascuando en menos de 20% de las celdas se encuentran frecuencias esperadas menores de 5

Corrección de Mantel-Haenszel

  • Cuando las muestras son pequeñas y las frecuencias esperadas menores de 5, se puede utilizar las correcciones propuestas por Mantel-Haenszel y por Yates. Estas correcciones modifican el valor de n en la fórmula de tal manera que, a medida que la muestra es más pequeña, la prueba es más estricta. La chi-cuadrada con corrección de Mantel-Haenszel se calcula mediante:

\[\chi^2_{MH}=\frac{(n-1)(ad-bc)^2}{(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)}\]

Prueba exacta de Físher

  • Es un procedimiento estadístico de prueba de hipótesis que se basa en los totales observados en columnas y renglones.
  • Al igual que para la prueba chi-cuadrada, con este procedimiento se evalúa la independencia entre las categorías correspondientes a los renglones y las columnas, y se puede probar la hipótesis nula.
  • A diferencia de otras pruebas estadísticas (p. ej., z o chi-cuadrada), el resultado de la prueba exacta de Fisher es el valor de p.

\[\frac{(a+c)!(a+b)!(b+d)!(c+d)!}{n!a!b!c!d!}\]

Prueba exacta de Físher

Suponga que en el ejercicio practico 2 se presentaron valores esperados menores a 5. Resuelva el mismo problema utilizando la prueba exacta de Físher


    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab1
p-value = 0.03618
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 1.028780 3.964904
sample estimates:
odds ratio 
  2.014137

Ejercicio práctico 3

¿Es posible concluir que el peso de bajo al nacer depende de la raza de las mujeres embarazadas? Construya una gráfico de barras y reporte los valores esperados. Utilice las variables low y race

Ejercicio práctico 4

¿Es posible concluir que el estatus de los pacientes con melanoma se asocia a la presencia de úlceras y a al sexo de los pacientes?

utilice la base de datos Melanoma de la librería MASS, además compruebe sus resultados utilizando ggstatplot.