11.8 Pruebas de hipótesis para la comparación de variables cuantitativas en dos grupos con distrubución normal

Bioestadística
CUCS/UDG

Author

Perez-Guerreo EE; PhD

Published

November 8, 2022

Introducción

Cuando es de nuestro interés comparar una variables cuantitativa entre dos grupos, podemos emplear la prueba Z o la prueba t student. La elección de una prueba u otra dependerá del conocimiento que tengamos de la varianza poblacional. Si conocemos la varianza poblacional se emplea Z, si por el contrario, no conocemos esta varianza la prueba que debemos utilizar es la prueba t student.

flowchart TD
  A[Comparación de variables cuantitativas en dos grupos]-->B{Conoce la varianza poblacional?}
  B-->C[Si]-->D[Prueba Z]
  B-->E[No]-->F[Prueba t]

Prueba t de student

La prueba t student para muestras independientes se utiliza para la comparación de medias de grupos independientes. En general las hipótesis que se pueden plantear son:

	$H_O$	$H_A$	Tipo de hipótesis
1	$\mu_1- \mu_2 =0$	$\mu_1- \mu_2 \neq0$	Bilateral
2	$\mu_1- \mu_2 >=0$	$\mu_1- \mu_2 \ <0$	Unilateral
3	$\mu_1- \mu_2 <=0$	$\mu_1- \mu_2 \ >0$	Unilateral

flowchart TD
  A[Comparación de medias]-->B{Hipótesis bilateral?}
  B-->C[Si]-->D[Ambos lados de la gráfica]-->E[Necesita valores negativos y positivos]-->F[Divida alfa entre 2]
  B-->G[No]-->H{diferencia negativa?}
  H-->I[Si]-->J[Izquierda de la gráfica]-->K[Estadístico negativo]-->L[lower.tail=T]
  H-->M[No]-->N[Derecha de la gráfica]-->O[Estadístico positivo]-->P[lower.tail=F]

A su vez, la selección de la prueba t-student adecuada se basará en la homogeneidad de la varianzas. Es decir, si las varianzas de los dos grupo a comparar son iguales deberá de elegir la prueba de t-student para varianzas homogeneas. En el caso de que las varianzas no sean iguales (homogenas) deberá plantear una prueba t-student para varianzas distintas.

flowchart TD
  A[Prueba t-student]-->B{Varianzas homogeneas?}
  B-->C[Si]-->D[Prueba t student varianzas homogeneas]
  B-->E[No]-->F[Prueba t student varianzas homogeneas]

Prueba t de student `R`

En R podemos utilizar la función t.test() que posee los siguientes argumentos:

X: un vector numérico (no vacío) de valores de datos.
y: un vector numérico opcional (no vacío) de valores de datos.
alternative: una cadena de caracteres que especifica el tipo de hipótesis. Las opciones a saber son: “two.sided” (default) para una hipótesis bilateral, “greater” cuando se quiere probar si la media 1 es mayor que la media 2 o “less” (lo contrario a greater). Puede especificar solo la letra inicial.
paired: una indicación lógica si desea una prueba t pareada.
var.equal: una variable lógica que indica si se deben tratar las dos varianzas como si fueran iguales. Si es VERDADERO, la varianza agrupada se usa para estimar la varianza; de lo contrario, se usa la aproximación de Welch (o Satterthwaite) a los grados de libertad.
conf.level: nivel de confianza del intervalo.
formula: se utiliza para introducir los datos a manera de formula.
data: Argumento que se utilza para identificar el data frame del que provienen los datos. Si se usó la función attach() o el simbolo de $ no es necesario utilizar este argumento.

En R la función t.test se puede utilizar de dos formas de hacerlo:

Utilizando “x” y “y”: t.test(x=objeto1, y=objeto2). Requiere de dos objetos con los datos numéricos
Utilizando la formula: t.test(Variable de prueba~Variable agrupación) Requiere de un objeto con la variable numérica y de un objeto que permita identificar los grupos

Vamos a resolver un ejercicio.

Ejercicio de practica para la prueba t con objetos separados

Un estudio de los investigadores Eidelman et al.tiene como objetivo examinar las características de destrucción pulmonar en personas que fuman cigarros antes de desarrollar un marcado enfisema pulmonar. Se practicaron mediciones de tres indices de destrucción pulmonar en los pulmones de personas longevas que no fumaban y en personas con tabaquismo que murieron repentinamente fuera del hospital por causas no respiratorias. Una calificación alta indica un mayor daño pulmonar. Los datos fueron guardados en dos objetos para uno de los índices de destrucción pulmonar de una muestra de 9 personas que no fuman y 16 fumadores. Se pretende saber si es posible concluir, con base en los datos, que las personas que sí fuman, en general, tienen los pulmones mas dañados que las personas no fumadoras, como lo indican las mediciones. No se conocen las variancias poblacionales, pero se supone que son iguales. Utilice un nivel de confianza del 98%.

Para la resolución de este ejercicio vamos a crear dos objetos, uno para la calificación de los fumadores y otro para la calificación de los no fumadores:

Calif_No_Fumadores<-c(18.1,6.0,10.8,11.0,7.7,17.9,8.5,13.0,18.9)
Calif_Fumadores<- c(16.6,13.9,11.3,26.5, 17.4, 15.3, 15.8, 12.3, 
                    18.6, 12.0, 24.1, 16.5, 21.8, 16.3, 23.4, 
                    18.8)

Lo primero es graficar, podemos hacerlo mediante un boxplot. Más adelante utilizaremos la función plotmeans()

boxplot(Calif_Fumadores, Calif_No_Fumadores, ylab="Calificaciones",
        main="Calificación de daño pulmonar", col=c("cadetblue", "cadetblue2"),
        names = c("Fumadores", "No fumadores"), frame = FALSE)

La gráfica anterior parece indicar que la calificación en el grupo de fumadores es mayor que en el grupo de los no fumadores. Vamos a comprobarlo mediante la prueba t de student. Se selecciona la prueba para viarnazas iguales (el problema lo indica)

t.test(Calif_Fumadores, Calif_No_Fumadores, alternative = "greater",
       conf.level = 0.98, var.equal = T)


    Two Sample t-test

data:  Calif_Fumadores and Calif_No_Fumadores
t = 2.658, df = 23, p-value = 0.007027
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
98 percent confidence interval:
 0.9237087       Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.53750  12.43333

Utilizamos el argumento alternative="greater" ya que nos interesa probar que la calificación de los fumadores es mayor que los no fumadores (la media del grupo es mayor que la media del grupo 2). Además, utilizamos un nivel de confianza del 98%. De momento asumimos que ambos grupos tienen varianzas iguales.

Supongamos ahora que es nuestro interés conocer que simplemente si las medias son diferentes y cambiamos el argumento alternative="two.sided".

t.test(Calif_Fumadores, Calif_No_Fumadores, alternative = "two.sided",
       conf.level = 0.98, var.equal = T)


    Two Sample t-test

data:  Calif_Fumadores and Calif_No_Fumadores
t = 2.658, df = 23, p-value = 0.01405
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
98 percent confidence interval:
 0.3036205 9.9047128
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.53750  12.43333

Aunque podrías omitir el argumento alternative="two.sided" ya que por se encuentra predefinido. El siguiente código dará el mismo resultado:

t.test(Calif_Fumadores, Calif_No_Fumadores,
       conf.level = 0.98, var.equal = T)


    Two Sample t-test

data:  Calif_Fumadores and Calif_No_Fumadores
t = 2.658, df = 23, p-value = 0.01405
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
98 percent confidence interval:
 0.3036205 9.9047128
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.53750  12.43333

Otra opción para utilizar la función t.test() es mediante el uso de formula. Para ello, vamos a importar la base de datos Calif_Fum utilizando el menú de RStudio. Asegúrese de que su objeto con la base de datos fue nombrado como Calif_Fum.

Ahora ya podemos utilizar la función t.test() como formula:

t.test(Calif_Fum$Calificacion~Calif_Fum$Grupo, conf.level = 0.98, var.equal = T)


    Two Sample t-test

data:  Calif_Fum$Calificacion by Calif_Fum$Grupo
t = 2.658, df = 23, p-value = 0.01405
alternative hypothesis: true difference in means between group Fumadores and group No Fumadores is not equal to 0
98 percent confidence interval:
 0.3036205 9.9047128
sample estimates:
   mean in group Fumadores mean in group No Fumadores 
                  17.53750                   12.43333

También ahora ya podemos hacer un gráficos de medias

library(gplots)


Attaching package: 'gplots'

The following object is masked from 'package:stats':

    lowess

plotmeans(Calif_Fum$Calificacion~Calif_Fum$Grupo)

Test de welch

En estadística, la prueba t de Welch, o prueba t de varianzas desiguales, es una prueba de ubicación de dos muestras que se utiliza para probar la hipótesis de que dos poblaciones tienen medias iguales. Lleva el nombre de su creador, Bernard Lewis Welch, y es una adaptación de la prueba t de Student, y es más confiable cuando las dos muestras tienen varianzas desiguales y/o tamaños de muestra desiguales.

Para evaluar la igualdad de varianzas existen varias opciones, sin embargo, en este curso utilizaremos el test de barttlet mediante la función bartlett.test(). Utilizamos la base Calif_Fum.

bartlett.test(Calif_Fum$Calificacion~Calif_Fum$Grupo)


    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  Calif_Fum$Calificacion by Calif_Fum$Grupo
Bartlett's K-squared = 0.065041, df = 1, p-value = 0.7987

Note como es necesario introducir los datos como formula. La prueba nos dice que las varianzas son iguales entre los grupos.

A pesar del resultado, asumamos que las varianzas no son iguales para ejemplificar como realizar el test de welch cambiando el argumento var.equal = F

t.test(Calif_Fum$Calificacion~Calif_Fum$Grupo, conf.level = 0.98, var.equal = F)


    Welch Two Sample t-test

data:  Calif_Fum$Calificacion by Calif_Fum$Grupo
t = 2.5964, df = 15.593, p-value = 0.01978
alternative hypothesis: true difference in means between group Fumadores and group No Fumadores is not equal to 0
98 percent confidence interval:
  0.01088222 10.19745111
sample estimates:
   mean in group Fumadores mean in group No Fumadores 
                  17.53750                   12.43333

En R podemos crear gráficas que sean mas ilustrativas, para ello, vamos instalar las librearías ggstatsplot, ggplot2 y gapminder.

install.packages("ggplot2")
install.packages("ggstatsplot")
install.packages("gapminder")

Una vez instalados, llamamos a las librerías

library(ggplot2)
library(ggstatsplot)
library(gapminder)

ggbetweenstats(
  data  = Calif_Fum, #Objeto con la base de datos
  x     = Grupo, # Nombre de la variable de agrupación
  y     = Calificacion, # Nombre de las variable numerica
  title = "Comparación de la calificación en fumadores vs no fumadores ", # titulo
  type = "parametric") # Prueba paramétrica

El tamaño del efecto: se define como el grado de generalidad que posee esa superioridad de A sobre B en la población de la que se obtuvo la muestra estudiada.

Puede encontrar más información sobre la gráfica anterior en: https://indrajeetpatil.github.io/ggstatsplot/

Ejercicios para la prueba t de student para muestras independientes clase:

Utilizando la base de datos “Pima.tr” describa si hay diferencias en los niveles de glucosa, la presión arterial, en sikin, índice de masa corporal, en ped y edad entre las mujeres con diabetes y las mujeres sin diabetes. Para este problema utilice únicamente la función t.test de R no realice la prueba de hipótesis por pasos. Para cada una de las variables entregue los siguiente:

Realice un boxplot para cada variable agrupadando entre las mujeres con diabetes y sin diabetes
Una gráfica utilizando la función ggbetweenstats
Resultado de la prueba $t-student$
Conclusión

Utilizando la base de datos “Pima.tr” describa si hay diferencias en los niveles de glucosa, la presión arterial entre las mujeres con más de 40 años y las que mujeres con 40 años o menos.

Prueba t para variables dependientes

Un método que se utiliza con frecuencia para averiguar la eficacia de un tratamiento o procedimiento experimental es aquel que hace uso de observaciones relacionadas que resultan de muestras no independientes.

Mediciones a través del tiempo
Dos mediciones en el mismo sujeto
Diseño cruzados

En estos casos la prueba de hipótesis más adecuada es la prueba t de student para muestras pareadas. Dado que se trabaja con la diferencia de las medias, no es necesario realizar prueba de homogeneidad de varainzas. !Es la misma muestra!

Vamos a resolver un ejemplo

Ejercicio práctico para la prueba t student para muestras pareadas

Nancy Stearns Burgess condujo un estudio para determinar la perdida de peso, la composición corporal, la distribución de grasa corporal y la tasa metabólica en reposo en individuos obesos antes y después de 12 semanas de tratamiento con dieta muy baja en calorías (DMBC), y comparar la hidrodensitometría con el análisis de impedancia bioeléctrica. Los 17 individuos (nueve mujeres y ocho hombres) que participaron en el estudio eran pacientes externos de un programa de tratamiento con base hospitalaria para la obesidad. Los pesos de las mujeres antes y después del tratamiento de 12 semanas de DMBC se muestran en dos objetos. Se pretende saber si estos datos ofrecen suficiente evidencia que permita concluir que el tratamiento es eficaz para reducir el peso en mujeres obesas.

Se crean dos objetos para ello:

antes<-c(117.3, 111.4,98.6,104.3,105.4,100.4, 81.7,89.5,78.2)
despues<-c(83.3,85.9,75.8,82.9,82.3,77.7,62.7,69.0,63.9)
# Crear un df para poder utilizar la función como fórmula
Medicion <- rep(x=c("antes", "despues"), each=9, times=1)
Peso <- c(antes, despues)
df <- data.frame(Medicion,Peso)

Tratamos de probar si:

Lo que se busca es saber si existe la suficiente evidencia para concluir que el programa de dietas es eficaz.
Si es posible rechazar la hipótesis nula que indica que el cambio en la media de la población $\mu_d$ es cero o positivo.

Podemos graficar, el siguiente código tiene objetivo mostrar todos los argumenots de la función boxplot, ustede puede copiar y pegar o hacer un gráfico más sencillo:

boxplot(antes, despues, # Datos
        horizontal = FALSE, # Horizontal or vertical plot
        lwd = 2, # Lines width
        col = c("#76EEC6", "#FFE4C4"), # Color
        xlab = "Grupos",  # X-axis label
        ylab = "Peso",  # Y-axis label
        main = "Comparación del peso antes y después de la intervención", # Title
        border = "black",  # Boxplot border color
        outpch = 25,       # Outliers symbol
        outbg = "green",   # Outliers color
        whiskcol = "blue", # Whisker color
        whisklty = 2,      # Whisker line type
        names=c("Peso antes", "Peso despues"), #Nombres de los grupos
        lty = 1) # Line type (box and median)

Con la función ggwithinstast de la libraría ggstastplot podemos tener una gráfica más informativa

ggwithinstats(
  data    = df,
  x       = Medicion,
  y       = Peso,
  title   = "Comparación del peso antes y después"
)

Para realizar la prueba t, puede emplear el siguiente código:

t.test(x=antes, y=despues, alternative = "greater", 
       paired = T, var.equal = T)


    Paired t-test

data:  antes and despues
t = 12.74, df = 8, p-value = 6.787e-07
alternative hypothesis: true mean difference is greater than 0
95 percent confidence interval:
 19.29166      Inf
sample estimates:
mean difference 
       22.58889

Si utilizamos la función t.test mediante formula el código sería el siguiente:

t.test(df$Peso~df$Medicion, paired = T)

Note como es necesario que las variables sean ingresadas desde un data frame

En el caso que nuestra hipótesis sea a dos colas:

t.test(x=antes, y=despues, alternative = "two.sided", 
       paired=T, var.equal = T)


    Paired t-test

data:  antes and despues
t = 12.74, df = 8, p-value = 1.357e-06
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 18.50003 26.67775
sample estimates:
mean difference 
       22.58889

Note que el único argumento que se debe de cambiar para indicarle a R que la muestra es pareada es: paired=T

Ejercicios clase prueba t de student pareada

La “Base_Prueba_t_pareada” es una base de datos que contiene la mediciones de adipocinas en pacientes con insuficiencia hepática. Contiene mediciones de estas adipocinas séricas a distintos tiempos: Basales, 3 meses, 6 y 12 meses

¿Existe evidencia para demostrar que los pacientes con insuﬁciencia hepática presentaron algún cambio entre las mediciones basales de leptina (Leptin) y las mediciones de leptina a los 6 meses (Leptin6M)?
¿Existe evidencia para demostrar que los pacientes con insuficiencia hepática presentaron algún cambio entre las mediciones basales de leptina (Leptin) y las mediciones de leptina a los 12 meses (Leptin12M)?

Ejercicios tarea

Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios. La resolución debe de incluir cuando menos:

Gráficas
Selección de prueba t
Prueba t
Conclusión

Problema 1.

Frigerio et al. midieron la energía consumida en 32 mujeres de Gambia. Dieciséis de los individuos estudiados eran mujeres en periodo de lactancia (L) y el resto eran mujeres no embarazadas que no estaban en etapa de lactancia (NENL). Se reportaron los siguientes datos:

Para el grupo de mujeres en periodo de lactancia:

5289, 6209, 6054, 6665, 6343, 7699, 5678, 6954, 6916, 4770, 5979, 6305, 6502, 6113, 6347, 5657

Para el grupo de mujeres que no estaban en etapa de lactancia

9920, 8581, 9305, 10765, 8079, 9046, 7134, 8736, 10230, 7121, 8665, 5167, 8527, 7791, 8782, 6883

¿Proveen estos datos suficiente evidencia que permita concluir que las poblaciones muestreadas difieren respecto a la media de consumo de energía? Utilice $\alpha=0.05$. Asuma igualdad de varianzas. Además obtenga un gráfico de caja y bigotes con los datos de cada grupo.

Ejercicio adaptado de BIOESTADÍSTICA, 4A ED Daniel , Wayne W.

Qué pueden concluir los investigadores?. Utilice $\alpha=0.05$. Asuma varianzas desiguales Además obtenga un gráfico de caja y bigotes con los datos de cada grupo. Compruebe sus resultados utilizando la función de t.test

Ejercicio adaptado de BIOESTADÍSTICA, 4A ED Daniel , Wayne W.

Problema 2.

¿La privación sensorial tiene algún efecto sobre la frecuencia de las ondas alfa de las personas? Se divide aleatoriamente en dos grupos a veinte voluntarios. Los individuos en el grupo A se sometieron a un periodo de privación sensorial durante 10 días, mientras que los individuos del grupo B sirvieron como grupo de control. Al terminar el periodo experimental, se midió la frecuencia de las ondas alfa a partir de los electroencefalogramas de estas personas. Los resultados son los siguientes:

Grupo	Ondas_alfa
GrupoA	10.2
GrupoA	9.5
GrupoA	10.1
GrupoA	10
GrupoA	9.8
GrupoA	10.9
GrupoA	11.4
GrupoA	10.8
GrupoA	9.7
GrupoA	10.4
GrupoB	11
GrupoB	11.2
GrupoB	10.1
GrupoB	11.4
GrupoB	11.7
GrupoB	11.2
GrupoB	10.8
GrupoB	11.6
GrupoB	10.9
GrupoB	10.9

Utilice $\alpha=0.05$. Puede copiar estos datos en una hoja de cálculo e importar los datos. Realice la prueba de levene para conocer si las varianzas de las muestras son iguales o no y con base al resultado determine que prueba pureba t es conveniente utilizar. Además, obtenga un gráfico de caja y bigotes con los datos de cada grupo.

Problema 3.

Utilizando la base de datos “Pima.tr” describa si hay diferencias en los niveles de glucosa, la presión arterial, en sikin, índice de masa corporal, en ped y edad entre las mujeres al menos 3 embarazos y aquellas mujeres con menos de 3 embarazos. Utilice la variable npreg para identificar el número de embarazos.

Problema 4.

Utilizando la base de datos “Pima.tr” describa si hay diferencias en los niveles de glucosa, la presión arterial entre las mujeres con un índice de masa corporal de 27.6 o más y aquella mujeres con un índice de masa corporal menor a 27.6.

Problema 5

Utilice la baes de datos “Base_Prueba_t_pareadaLos” para resolver este ejercicio.

Los investigadores asignaron una intervención para reducir las concentraciones de adiponectina en los pacientes con insuﬁciencia hepática, para ello realizaron mediciones basales de esta adipocina (Adiponectin) y mediciones a los 6 meses (Adiponectin6M) y a los 12 meses (Adiponectin12M). ¿Pueden concluir los investigadores que se presentó una disminución de las concentraciones séricas de adiponectina?

Ejercicio 4

Utilice la baes de datos “Base_Prueba_t_pareadaLos” para resolver este ejercicio.

Los investigadores a cargo del estudio realizaron la medición de un biomarcador que se asocia a una enfermedad más grave en los pacientes con insuﬁciencia hepática, se ha validado que a mayores concentraciones de este biomarcador se presenta una enfermedad más grave. ¿Existe evidencia para demostrar que los pacientes empeoraron a los 6 meses y a los 12 meses con respecto a la medición basal?. La variable “Biomarcador” tiene las mediciones basales del biomarcador de interés. Mientras que variables “Biomarcador6M” y “Biomarcador12M” las mediciones a los 6 y 12 meses

	\(H_O\)	\(H_A\)	Tipo de hipótesis
1	\(\mu_1- \mu_2 =0\)	\(\mu_1- \mu_2 \neq0\)	Bilateral
2	\(\mu_1- \mu_2 >=0\)	\(\mu_1- \mu_2 \ <0\)	Unilateral
3	\(\mu_1- \mu_2 <=0\)	\(\mu_1- \mu_2 \ >0\)	Unilateral

Introducción

Prueba t de student

Prueba t de student R

Ejercicio de practica para la prueba t con objetos separados

Test de welch

Ejercicios para la prueba t de student para muestras independientes clase:

Prueba t para variables dependientes

Ejercicio práctico para la prueba t student para muestras pareadas

Ejercicios clase prueba t de student pareada

Ejercicios tarea

Problema 1.

Problema 2.

Problema 3.

Problema 4.

Problema 5

Ejercicio 4

Prueba t de student `R`