Bioestadística
Posgrados CUCS/UDG
4/26/23
Cuando se tiene una población con distribución normal (o aproximada a la normal) y se conoce la varianza es posible emplear el estadístico \(Z\) para la prueba de hipótesis.
Se parte del supuesto que \(H_0: \mu= \mu_0\)
El estadístico de prueba es:
\[z= \frac{ \bar{x}- \mu_0}{\sigma/ \sqrt{n}}\]
Un grupo de investigadores desean conocer la edad media de cierta población. Saben por estudios anteriores, que la edad de los individuos en la población se distribuye normalmente con \(\sigma^2=27\). Para iniciar su estudio se preguntan ¿Si la media de edad de la población es diferente de 30?. Los investigadores quieren realizar su estudio con un 95% de confianza
Los investigadores tomaron una muestra 50 sujetos con las siguiente edades:
edades: 19, 29, 41, 18, 55, 24, 52, 41, 37, 41, 31, 50, 40, 39, 46, 44, 54, 42, 47, 36, 50, 26, 39, 51, 41, 37, 35, 49, 44, 19, 35, 36, 47, 30, 47, 30, 30, 22, 34, 45, 24, 25, 22, 43, 47, 39, 55, 55, 50, 39
Se sabe por experiencia que los datos provienen de una población aproximadamente normal.
Deseamos conocer si:
edades<-c(32, 44, 35, 40, 42, 31, 38, 27, 23, 30, 39,
20, 30, 43, 26, 23, 22, 20, 36, 35, 25, 27,
27, 43, 22, 30, 26, 27, 32, 41, 42, 30, 43,
22, 42, 24, 22, 30, 27, 45, 26, 29, 45, 32,
31, 38, 25, 37, 31, 44)# Objeto con las edades
summary(edades) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
20.00 26.00 30.50 32.02 38.75 45.00 ¿Qué rechazamos y qué aceptamos?
Dado que elegimos \(\alpha=0.05\) y dado que nuestra hipótesis es bilateral buscamos en tablas el valor \(Z\) adecuado.
En r lo podemos estimar con la función qnorm
[1] -1.959964[1] 1.959964
R es:Con base en la regla de decisión, se puede rechazar la hipótesis nula porque 2.7489 está en la región de rechazo. Se puede decir que el valor calculado de la prueba estadística tiene un nivel de significación de .05 a dos colas
El valor que estimamos es mayor al valor de referencia de tablas
y <- (rnorm(10000000, mean=0, sd=1))
den <- density(y)
plot(den, main="Regla de decisión ejemplo práctico 1", xlab="Valores de Z")
value <- 1.96
polygon(c(den$x[den$x >= value ], value),
c(den$y[den$x >= value ], 0),
col = "slateblue1",
border = 1)
value <- -1.96
polygon(c(den$x[den$x <= value ], value),
c(den$y[den$x <= value ], 0),
col = "slateblue1",
border = 1)
legend(x="topleft", legend = "Zona aceptación zona blanca y
la linea verde estadístico obtenido")
abline(v=2.7489, col="green", lw=4)Con un 95% de confianza podemos decir que la media es distinta de 30
r lo podemos calcular con la función pnormSi el valor \(p\) es menor o igual que \(\alpha\), es posible rechazar la hipótesis nula; si el valor p es mayor que \(\alpha\) no es posible rechazar la hipótesis nula.
Otro grupo de investigadores decidió replicar el estudio con el siguiente conjunto de datos:
Todos los pasos del 1 al 5 son iguales al problema anterior
Con base en la regla de decisión, NO existen argumentos para rechazar la \(H_0\) 0.73 está en la región de aceptación.
El valor que estimamos es mayor al valor de referencia de tablas
No existen argumentos para decir que la media es distinta de 30 con un 95% de confianza
r lo podemos calcular con la función pnorm
R lo podemos calcular de la siguiente manera:Con base en la regla de decisión, podemos rechazar la \(H_0\)
Existe evidencia con un 95% de confianza de que la media es mayor que 30
El valor de \(p\) quedaría repartido en un solo lado
R?z.test(x, y = NULL, alternative = "two.sided", mu = 0, sigma.x = NULL, sigma.y = NULL, conf.level = 0.95)R?R?R?R?R?R?Si buscamos \(H_A: \mu>30\)
R?
One-sample z-Test
data: edades2
z = 0.73485, p-value = 0.4624
alternative hypothesis: true mean is not equal to 30
95 percent confidence interval:
29.09973 31.98027
sample estimates:
mean of x
30.54