5.3 La distribución t

En la sección anterior vimos que la razón:

\[ z = {\bar{x}\over{SE}} \]

tiene una distribución normal cuando la muestra tiene un tamaño grande. Cuando la muestra es relativamente pequeña, sin embargo, tiende a otra distribución llamada la distribución t y a veces distribución t de Student15.

El valor de t se calcula de la misma manera que el error estándar, pero debido a las características de la distribución los valores críticos son distintos dependiendo de los grados de libertad (que el la mayoría de los casos es igual a N-1.)

Ejemplo 5.2 (Muestra pequeña) Hacemos una muestra aleatorea de 15 argentinas y medimos su estatura, esta vez con precisión milimetrica y obtenemos:

X = {153,26; 158,81; 165,73; 159,85; 160,56; 166,69; 159,85; 148,07; 160,3; 173,02; 154,55; 145,52; 159,98; 158,22; 166,12 }

La media es de 159,36 y la desviación estándar de 7,125. Por tanto: \[ SE = {s\over{\sqrt{N}}} = {7,125\over{\sqrt{15}}} = 1,338 \]

El valor crítico de t con 14 grados de libertad (N-1) es \(\pm{2,145}\).

\[ 2,145 \times{SE} = 2,145 \times 1,338 = 2,869 \]

Por tanto, basado en esta muestra más chica podemos estimar que la media de la población es de 159,36 \(\pm2,869\) es decir entre 156,49 y 162,23 centímetros.

Del ejemplo 5.2 vemos que si bien logramos estimar la media de la población, el margen de error es más amplio que con una muestra más grande.

¿Dónde obtenemos los valores críticos de t?

Se pueden consultar los valores críticos de la distribución t para distintos grados de libertad en tablas estadísticas, como el del [Apendix A][Apendix A: distribución t] o en linea. También se puede sacar con una función en R llamada qt.

Ejemplo 5.3 (Ejemplo en R: extraer el valor crítico de t)
## [1] -2.144787

La función toma dos argumentos p de qué proporción de la curva en cada lado queremos y df que son los grados de libertad, en este caso 15-1=14. Ponemos el valor de 0.025 porque queremos un 2,5% de arriba y un 2,5% de abajo (=5%).


  1. Por el seudónimo del matemático que primero publicó sobre este tema.