1.3 Propriétés d’une Poisson-mélange

Dans une Poisson-mélange($\lambda_i \Theta$), nous avons les deux premiers moments suivants

$$\begin{eqnarray*} E[S_i|\mathbf{X}_i] &=& \lambda_i E[\Theta] \\ Var[S_i|\mathbf{X}_i] &=& \lambda_i + \lambda_i^2 Var[\Theta] \end{eqnarray*}$$

Proposiotn: La fonction génératrice des probabilité (FGP) de la Poisson-mélange($\lambda_i \Theta$) s’exprime comme:

$$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(z) &=& \mathbb{M}_{\Theta}( \lambda_i (z -1) ), \end{eqnarray*}$$

où $\mathbb{M}_{\Theta}(t)$ est la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire $\Theta$.

Theorme: Fonction de vraisemblance unimodale : Holgate (1980) Tous les modèles de mélange continus basés sur une Poisson ont une fonction de vraisemblance unimodale. Cela nous assure que l’utilisation des techniques numériques classiques (ex: Newton-Raphson) vont mener au MLE.

Theorme Double croisement: Shaked (1980) Supposons une densité $f(y|x, \theta)$ pour une v.a. provenant de la famille exponentielle, avec $E[\theta] = 1$ et $Var[] = ^2 > 0 $. Alors la distribution marginale $h(y|x) = E_{\theta}[f(y|x, \theta)]$ aura des queues de distributions plus épaisses que $f(y|x, \theta)$, dans le sens ou la distribution marginale - conditionale, $h(y|x) - f(y|x, \theta)$ est $\{+,-,+\}$ lorsque $y$ croisse sur son support.

1.3.1 Mise en garde

Dans les mélanges de Poisson que vous pouvez trouver dans plusieurs articles scientifiques, surtout les articles avant 2003-2004, le modèle utilisé n’est pas le même que celui à la base de notre cours.\

En effet, dans plusieurs cas, le modèle utilisé a la forme suivante:

$$N|\theta \sim Poisson(\theta),$$

avec $\theta$ ayant une distribution quelconque. Cette paramétrisation permet difficilement la segmentation du risque, puisque les régresseurs se devraient d’être utilisés dans la distribuiton de $\Theta$. Nous utilisons plutôt

$$N|\theta \sim Poisson(\lambda \theta),$$

avec $\theta$ ayant une distribution quelconque. \

Puisque plusieurs modèles dans la littérature ont été développés avec $N|\theta \sim Poisson(\theta)$, il est parfois difficile voire même impossible de transposer des résultats connus dans un modèle avec segmentation.\

Cette différence entre les deux modèles est fondamentale, et sera essentielle dans le développement des modèles pour données de panels.