Beispiel: Antigenschnelltests auf SARS-CoV-2

Das Paul-Ehrlich-Institut (PEI) hat kürzlich Mindestkriterien für Antigenschnelltests auf SARS-CoV-2 festgelegt (hier abrufbar). Eine zufällig getestete Person kann entweder krank (\(K\)), oder gesund (\(\overline{K}\)) sein. Der Schnelltest kann entweder positiv (\(P\)) oder negativ (\(\overline{P}\)) ausfallen. Der Einfachheit halber, ignorieren wir die Möglichkeit, dass der Test uneindeutig ausfällt.
Das PEI verlangt eine Sensitivität von mindestens 80% bei Schnelltests. Mit Sensitivität wird die (geschätzte) Wahrscheinlichkeit bezeichnet, mit der ein Test eine vorliegende Erkrankung erkennt. Das bedeutet, dass bei einem Antigentest mindestens \(W(P|K)=80\%\) gelten muss.
Ebenso verlangt das PEI eine Spezifität (Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer gesunden Person negativ ausfällt) von mindestens 97%, also \(W(\overline{P}|\overline{K})=97\%\).
(An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Schnelltests wesentlich ungenauer als die auf der PCR basierenden Tests sind und dass es sich um Mindestanforderungen handelt! Dies soll jedoch nicht die Eignung von Schnelltests für bestimmte Zwecke in der Pandemiebekämpfung in Frage stellen.)
Wir möchten wissen, wie bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Kontingenztabelle aussieht und wie hoch \(W(K|P)=\frac{W(K\cap P)}{W(P)}\) ist, also wie wahrscheinlich es ist, krank zu sein, bedingt darauf, dass der Test positiv ausfällt.
Beides hängt stark davon ab, wie hoch die allgemeine Wahrscheinlichkeit ist, erkrankt zu sein (\(W(K)\)). Diese Größe ist leider unbekannt. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass jede 1000ste Person aktuell erkrankt sei, also \(W(K)=0.1\%\) gelte. Sie können diese Wahrscheinlichkeit beliebig variieren, um zu erkennen, wie stark \(W(K|P)\) von \(W(K)\) beeinflusst wird.

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