Media

Es la suma de todas las observaciones dividida por el número total de observaciones.

Notación: $\mu$ para la media poblacional, $\bar X_n$ para la media o promedio muestral.

¿Cómo la calculamos?

• Para datos no agrupados: $\bar X_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i$

• Para datos agrupados: $\bar X_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k m_if_i$, donde $m_i$ es la marca de clase, es decir, el punto medio del intervalo o clase $i-$ésima, $f_i$ es la frecuencia absoluta de la clase $i$ y $k$ es la cantidad de clases.

Mediana (Me)

Es un estadístico de orden. Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente.Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.

¿Cómo la calculamos?

• Para datos que no están agrupados:

  • Si n es impar: posición donde se ubica la mediana es igual a $\frac{n+1}{2}$.

  • Si n es par: $\frac{n+1}{2}$ no es entero, por lo tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones centrales, ($\frac{n}{2}$ y $\frac{n}{2}+1$).

• Para datos agrupados en intervalos:

1. La clase mediana es la que contiene al dato que ocupa la posición $\frac{n}{2}$, para $n$ par o $\frac{n+1}{2}$, para $n$ impar.

2. Y aplicamos la fórmula: $$\begin{equation} Me = l_i +\frac{\frac{n}{2}-F_{i-1}}{f_i}h \end{equation}$$ donde:

$l_i$: límite inferior de la clase de la mediana,

$F_{i-1}$: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana,

$f_i$: frecuencia absoluta de la clase mediana,

$h$: amplitud de la clase mediana.

COMPARACIÓN MEDIA-MEDIANA

1. La media contiene más información porque usa los valores de todos los datos.

2. La mediana es más robusta frente a la presencia de valores extremos.

3. La media es más simple de calcular.

4. Deben calcularse ambas pues proporcionan información complementaria.

Aquí encontrarán un artículo muy interesante sobre la media y la mediana.

Moda (Mo)

• Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones.

• Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal.

• Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.

¿Cómo calculamos o determinamos la Moda?

• Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite.

• Para datos agrupados:

1. La clase modal es la de mayor frecuencia.

2. Y aplicamos la fórmula:

$$\begin{equation} Mo = l_i + \frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}h \end{equation}$$ donde:

$l_i$: límite inferior de la clase modal,

$\Delta_1$: diferencia entre $f_i$ de la clase modal y la anterior.

$\Delta_2$: diferencia entre $f_i$ de la clase modal y la posterior.

$h$: amplitud de la clase modal.

Cuantiles (Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles)

En la población, los cuantiles son puntos tomados a intervalos regulares de la función de distribución de una variable aleatoria.

El cuantil de orden $p$ de una distribución (con $0 < p < 1\;$) es el valor de la variable $q_{p}$ que marca un corte de modo que una proporción $p$ de valores de la población es menor o igual que $q_{p}$. Por ejemplo, $q_{0.36}\;$el cuantil de orden $0.36$ dejaría un $36$% de valores por debajo y el cuantil de orden $0.50$ se corresponde con la mediana de la distribución.

Los cuantiles suelen usarse por grupos que dividen la distribución en partes iguales; entendidas estas como intervalos que comprenden la misma proporción de valores. Los más usados son:

• Los cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles $0.25\;$; $0.50$ y $0.75$);

• Los quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes (corresponden a los cuantiles $0.20\;$; $0.40\;$; $0.60\;$ y $0.80\;$);

• Los deciles, que dividen a la distribución en diez partes;

• Los percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

Cálculo de cuantiles de datos agrupados en intervalos

1. En primer lugar, debemos hallar el intervalo en que se encuentra nuestro cuantil. Para esto calculamos la posición del cuantil: $n_p = N\cdot p\;$, donde $N$ es el total de datos u observaciones y p es el orden del cuantil que queremos calcular. Por ejemplo, si queremos cacular el cuantil de orden $0.4$, debemos hacer $N\cdot 0.4$. Luego, observando la columna de frecuencias acumuladas, buscamos el intervalo donde está contenido $n_p$.

2. Y aplicamos la fórmula: $$\begin{equation} q_p = l_i +\frac{N\cdot p-F_{i-1}}{f_i}h \end{equation}$$ donde:

$l_i$: límite inferior de la clase que contiene el cuantil,

$N$: número total de observaciones,

$p$: cuantil que se está buscando,

$F_{i-1}$: frecuencia acumulada en el intervalo anterior al que contiene al cuantil,

$f_i$: frecuencia absoluta del intervalo que contiene al cuantil,

$h$: amplitud del intervalo que contiene el cuantil.

Rango o Recorrido

Está determinado por los dos valores extremos de los datos muestrales. Es simplemente la diferencia entre la mayor y menor observación.

Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de los datos y permite conocer la máxima dispersión.

Varianza

• Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de los datos $x_1, x_2, \ldots, x_n\;$ con respecto a la media.

Notación: $\sigma^2$ para la varianza poblacional, $s^2$ para la varianza muestral.

Cálculo de la varianza muestral

Con datos no agrupados, es el promedio del cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media.

$$\begin{equation} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 \end{equation}$$

Con datos agrupados, la fórmula es:

$$\begin{equation} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^k(m_i-\bar x)^2\cdot f_i \end{equation}$$ donde:

$m_i$: es la marca de clase, es decir, el punto medio del intervalo o clase $i-$ésima,

$f_i$ es la frecuencia absoluta de la clase $i$,

$k$ es la cantidad de clases.

Desviación estándar

Es la raíz cuadrada de la varianza.

Cálculo de la desviación estándar muestral

Con datos no agrupados:

$$\begin{equation} s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2} \end{equation}$$

Con datos agrupados, la fórmula es:

$$\begin{equation} s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^k(m_i-\bar x)^2\cdot f_i} \end{equation}$$ donde:

$m_i$: es la marca de clase, es decir, el punto medio del intervalo o clase $i-$ésima,

$f_i$ es la frecuencia absoluta de la clase $i$,

$k$ es la cantidad de clases.

Coeficiente de Variación

• Es una medida de dispersión relativa que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras con variables con unidades y/o medias diferentes.

• Es una medida adimensional.

Notación: $CV$ o $CV$%.

Cálculo del coeficiente de variación (porcentual) muestral

Debemos aplicar la fórmula: $$\begin{equation} CV = \frac{s}{\bar x} \end{equation}$$ o bien $$\begin{equation} CV\% = \frac{s}{\bar x}\times 100\% \end{equation}$$

Desviación media

La desviación media muestral se define como: $$\begin{equation} D_m = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n|x_i-\bar x| \end{equation}$$

En el caso de tener los datos agrupados por intervalos, $$\begin{equation} D_m = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k|m_i-\bar x|\cdot f_i \end{equation}$$ donde $m_i$ es la marca de clase, es decir, el punto medio del intervalo o clase $i-$ésima, $f_i$ es la frecuencia absoluta de la clase $i$ y $k$ es la cantidad de clases.

Índice de Asimetría (As)

La asimetría de una distribución hace referencia al grado en que los datos se reparten respecto por encima y por debajo de un valor central (media o mediana).

Cálculo del índice de asimetría muestral $$\begin{equation} As = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{(x_i-\bar x)^3}{s^3} \end{equation}$$ donde $\bar x$ y $s$ son, respectivamente, el promedio y la desviación estándar de la muestra.

Como siempre, en caso de que tengamos datos agrupados por intervalos, debemos utilizar las marcas de clase y frecuencias absolutas de cada intervalo: $$\begin{equation} As = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k\frac{(m_i-\bar x)^3}{s^3}\cdot f_i \end{equation}$$

Índice de Curtosis (Cr)

Mide la mayor o menor concentración de datos alrededor de la media, es decir, hace referencia al grado de apuntamiento de la distribución.

Cálculo del índice de curtosis muestral $$\begin{equation} Cr = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{(x_i-\bar x)^4}{s^4}-3 \end{equation}$$ donde $\bar x$ y $s$ son, respectivamente, el promedio y la desviación estándar de la muestra.

Una vez más, en caso de tener datos agrupados por intervalos, debemos utilizar las marcas de clase y frecuencias absolutas de cada intervalo: $$\begin{equation} Cr = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k\frac{(m_i-\bar x)^4}{s^4}\cdot f_i-3 \end{equation}$$

Observación: En caso de calcular el índice de curtosis sin restar el 3, entonces debemos comparar el valor del índice obtenido $Cr$ con 3. Es decir:

• Si $Cr>3$ : La distribución es leptocúrtica.

• Si $Cr=3$ : La distribución es mesocúrtica.

• Si $Cr<3$ : La distribución es platicúrtica.