WBRM_QM - Beispiel: Normalverteilung

Erfolgsquote in Statistik-Klausur

Für die Klausur mit 40 Teilnehmern liegt die Durchfallquote bei 40 %. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 30 Studierende bestehen?

Exakt rechnen wir mit der Binomialverteilung:

X	B(n=40; p=0,6; k=X)
X=30	\(\mathsf{\tbinom{40}{30}}\) ⋅0,6³⁰⋅0,4¹⁰=0,020
X=31	0,010
X=32	0,004
X=33	0,001
\(\quad\vdots\)	\(\quad\vdots\)
X=40
Summe	0,0352 = 3,52%

Approximation mit Normalverteilung

Weniger aufwendig ist die Approximation durch die Normalverteilung:

\[\mathsf{\mu=n\cdot p=40\cdot 0{,}6=24} \\ \mathsf{\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p)=40\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4=9{,}6}\]

Achtung: Im stetigen Fall ist \(\mathsf{P(X=30)=0}\) (keine Fläche unter der Dichtefunktion). Um den 30. Studenten mit in der stetigen Verteilung einzubeziehen, verlegen wir daher beim Standardisieren das X um 0,5 nach links. Dieser Kniff heißt Stetigkeitskorrektur. \[\mathsf{Z=\frac{29{,}5-24}{\sqrt{9{,}6}}=1{,}78}\] Aus der Tabelle für die Standardnormalverteilung erhalten wir die Wahrscheinlichkeit 3,75 % – einigermaßen nah am exakten Wert 3,52 %.

Bevor wir standardisieren, müssen wir eine Besonderheit beachten, die nur dann auftritt, wenn wir bei der Approximation von einer diskreten auf eine stetige Zufallsvariable übergehen. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 30 Studierende bestehen, d. h., der 30. Student muss mit einbezogen werden. Im stetigen Fall ist aber \(P(x=30)=0\), da an dieser Stelle keine Fläche unter der Dichtefunktion ist. Um den 30. Studenten mit in der stetigen Verteilung einzubeziehen, verlegen wir beim Standardisieren das x um 0,5 nach links. Dieser „Trick” heißt Stetigkeitskorrektur (englisch: continuity correction).

Nun schlagen wir \(z=1,78\) in der Tabelle für die Standardnormalverteilung nach und erhalten 3,75 %. Dieses Ergebnis vergleichen wir mit den 3,52 % aus der Binomialverteilung und erkennen, dass die Näherung ziemlich gut ist.