In einer Kiste befinden sich zehn Glühlampen (\(N=10\)), von denen 3 defekt sind (also \(N_m=3\), \(N_e=7\)). Wir ziehen eine zufällige Stichprobe der Größe n ohne Zurücklegen. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl funktionierender Lämpchen, wenn n=2, 4, 8 oder 10?
n=2: Dann funktionieren entweder \(X=0\), \(1\) oder \(2\) Glühlampen.
| \(n=2\), \(N_e=7\), \(N_m=3\), \(N=10\) | |
|---|---|
| x=0 | \(\frac{\tbinom{7}{0}\tbinom{(3}{2}}{\tbinom{10}{2}}\approx 0,067\) |
| x=1 | … \(\approx 0,47\) |
| x=2 | … \(\approx 0,47\) |
| Summe | 1 |
n=4: Da sich in der Kiste nur drei defekte Glühlampen befinden, muss mindestens eine intakte Glühlampe in der Stichprobe sein; maximal können 4 funktionierende Glühlampen darin sein:
| \(n=4\), \(N_e=7\), \(N_m=3\), \(N=10\) | |
|---|---|
| x=1 | \(\mathsf{\frac{\tbinom{7}{1}\tbinom{3}{3}}{\tbinom{10}{4}}=0,033}\) |
| x=2 | 0,300 |
| x=3 | 0,500 |
| x=4 | 0,167 |
| Summe | 1 |
n=8: Da es in der Kiste nur 7 intakte gibt, muss mindestens eine Glühlampe defekt sein, d. h., x darf maximal 7 werden. Wenn wir alle 3 defekten Glühlampen ziehen, bleiben noch 5 intakte in der Stichprobe übrig. Demnach kann x die Werte 5, 6 oder 7 annehmen.
| \(n=8\), \(N_e=7\), \(N_m=3\), \(N=10\) | |
|---|---|
| x=5 | \(\mathsf{\frac{\tbinom{7}{5}\tbinom{(3}{3}}{\tbinom{10}{8}}=\frac{21}{45}=0,467}\) |
| x=6 | 0,467 |
| x=7 | 0,067 |
| Summe | 1 |
n=10: Wenn wir alle Glühlampen aus der Kiste ziehen – dann müssen wir genau 7 funktionierende Glühlampen in der Stichprobe haben.
Somit gilt \(\mathbb{P}(x=7)=1\).
| \(n=10\), \(N_e=7\), \(N_m=3\), \(N=10\) | |
|---|---|
| x=7 | \(\frac{\tbinom{7}{7}\tbinom{(3}{3}}{\tbinom{10}{10}}=\frac{21}{45}=1\) |
| Summe | 1 |
Sie sollten die Rechnungen alle einmal nachvollziehen bzw. ergänzen.