In einer Kiste befinden sich zehn Glühlampen (N=10), von denen 3 defekt sind (also Nm=3, Ne=7). Wir ziehen eine zufällige Stichprobe der Größe n ohne Zurücklegen. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl funktionierender Lämpchen, wenn n=2, 4, 8 oder 10?
n=2: Dann funktionieren entweder X=0, 1 oder 2 Glühlampen.
| n=2, Ne=7, Nm=3, N=10 | |
|---|---|
| x=0 | \frac{\tbinom{7}{0}\tbinom{(3}{2}}{\tbinom{10}{2}}\approx 0,067 |
| x=1 | … \approx 0,47 |
| x=2 | … \approx 0,47 |
| Summe | 1 |
n=4: Da sich in der Kiste nur drei defekte Glühlampen befinden, muss mindestens eine intakte Glühlampe in der Stichprobe sein; maximal können 4 funktionierende Glühlampen darin sein:
| n=4, N_e=7, N_m=3, N=10 | |
|---|---|
| x=1 | \mathsf{\frac{\tbinom{7}{1}\tbinom{3}{3}}{\tbinom{10}{4}}=0,033} |
| x=2 | 0,300 |
| x=3 | 0,500 |
| x=4 | 0,167 |
| Summe | 1 |
n=8: Da es in der Kiste nur 7 intakte gibt, muss mindestens eine Glühlampe defekt sein, d. h., x darf maximal 7 werden. Wenn wir alle 3 defekten Glühlampen ziehen, bleiben noch 5 intakte in der Stichprobe übrig. Demnach kann x die Werte 5, 6 oder 7 annehmen.
| n=8, N_e=7, N_m=3, N=10 | |
|---|---|
| x=5 | \mathsf{\frac{\tbinom{7}{5}\tbinom{(3}{3}}{\tbinom{10}{8}}=\frac{21}{45}=0,467} |
| x=6 | 0,467 |
| x=7 | 0,067 |
| Summe | 1 |
n=10: Wenn wir alle Glühlampen aus der Kiste ziehen – dann müssen wir genau 7 funktionierende Glühlampen in der Stichprobe haben.
Somit gilt \mathbb{P}(x=7)=1.
| n=10, N_e=7, N_m=3, N=10 | |
|---|---|
| x=7 | \frac{\tbinom{7}{7}\tbinom{(3}{3}}{\tbinom{10}{10}}=\frac{21}{45}=1 |
| Summe | 1 |
Sie sollten die Rechnungen alle einmal nachvollziehen bzw. ergänzen.