Beispiel: Poissonverteilung

Andreas Mändle

Schadenswahrscheinlichkeit

Ein Hersteller gibt 2 Jahre Garantie auf seine Fernseher. Aus Erfahrung sind 0,5 % der Geräte fehlerhaft.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 500 Fernsehgeräten keines fehlerhaft ist?
   \(\mathsf{\lambda=n\cdot p=500\cdot 0{,}5\%=500\cdot 0{,}005=2{,}5}\)
   \(\mathsf{\mathit{P}_{2{,}5}(0)=e^{-2{,}5}\cdot \frac{2{,}5^0 }{0!}=0{,}082=8{,}2\%}\)
   
   Wie wäre die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung ausgefallen?
   \(B\mathsf{(500;0{,}005)(0)=\tbinom{500}{0}\cdot 0{,}005^0 (0{,}995)^{500}=0{,}995^{500} \approx 8{,}2\%}\)
   
   Die Approximation der Poissonverteilung ist bei dem kleinen \(p\) noch recht gut.

Aus Erfahrung sind 0,5 % der Geräte fehlerhaft. Der Statistiker definiert dies als Erfolg! Genauer: 0,0816

Mehr als 3 Defekte

2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 500 Fernsehgeräten mehr als 3 fehlerhaft sind?
   
   \(\mathsf{\mathbb{P}(X>3)=1-(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3))}\)
   mit
   \(\mathsf{\mathbb{P}(X=0)=0{,}082}\) (aus a.),
   \(\mathsf{\mathbb{P}(X=1)=\mathit{P}_{2,5}(1)=\frac{2,5^1 e^{-2,5}}{1!}=0{,}205}\),
   \(\mathsf{\mathbb{P}(X=2)=\mathit{P}_{2,5}(2)=\frac{2,5^2 e^{-2,5}}{2!}=0{,}256}\),
   \(\mathsf{\mathbb{P}(X=3)=\mathit{P}_{2,5}(3)=\frac{2,5^3 e^{-2,5}}{3!}=0{,}214}\) folgt:
   \(\mathsf{\mathbb{P}(X>3)=1-(0{,}082+0{,}205+0{,}256+0{,}214)=0{,}242}\)
   …also rund 24 % Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 Geräte fehlerhaft sind.

Rechnen Sie zu Übungszwecken auch mit der Binomialverteilung. Das Ergebnis lautet \(\mathsf{0{,}2421}\) – ebenfalls eine sehr gute Annäherung an die Poissonverteilung.

….