Eine Familie hat fünf Kinder. Wie wahrscheinlich ist es, dass darunter kein Junge, ein Junge, …, fünf Jungen sind?
Diese Frage lässt sich mit der Binomialverteilung beantworten. Die Werte der Verteilungsparameter hierfür sind:
Also: \(\mathsf{X \sim B(n=5, p=0,5)}\).
Die Zufallsvariable X ist die Anzahl der Jungen in der Familie und kann Werte von 0 bis 5 annehmen.
| X Jungen | \(\mathsf{\mathbb P(X)}\) |
|---|---|
| 5 | \(\mathsf{\tbinom{5}{5}\cdot 0,5^5\cdot 0,5^{5-5}=\frac{5!}{5!\cdot 0!}\cdot 0,5^5\cdot 0,5^0=0,5^5=\tfrac{1}{32}}\) |
| 4 | \(\mathsf{\tbinom{5}{4}\cdot 0,5^4\cdot 0,5^{5-4}=\frac{5!}{4!\cdot 1!}\cdot 0,5^4\cdot 0,5^1=5\cdot 0,5^5=\tfrac{5}{32}}\) |
| 3 | \(\mathsf{\tbinom{5}{3}\cdot 0,5^3\cdot 0,5^{5-3}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot 0,5^3\cdot 0,5^2=10\cdot 0,5^5=\tfrac{10}{32}}\) |
| 2 | ? |
| 1 | ? |
| 0 | ? |
| Summe | \(\mathsf{\tfrac{32}{32}=1}\) |
Vervollständigen Sie zu Übungszwecken. Im Ergebnis muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten eins sein und die Verteilung symmetrisch sein, da \(\mathsf{p=0,5}\).