Beispiel: Binomialverteilung bei 5 Kindern

Andreas Mändle

Wahrscheinlichkeit für 0,…,5 Jungen

Eine Familie hat fünf Kinder. Wie wahrscheinlich ist es, dass darunter kein Junge, ein Junge, …, fünf Jungen sind?

Diese Frage lässt sich mit der Binomialverteilung beantworten. Die Werte der Verteilungsparameter hierfür sind:

• \(\mathsf{n=5}\) Kinder,
• \(\mathsf{p=0,5}\) (0,5 Wahrscheinlichkeit je für einen Jungen oder Mädchen).

Also: \(\mathsf{X \sim B(n=5, p=0,5)}\).

Die Zufallsvariable X ist die Anzahl der Jungen in der Familie und kann Werte von 0 bis 5 annehmen.

Verteilungstabelle für X Jungen

X Jungen	\(\mathsf{\mathbb P(X)}\)
5	\(\mathsf{\tbinom{5}{5}\cdot 0,5^5\cdot 0,5^{5-5}=\frac{5!}{5!\cdot 0!}\cdot 0,5^5\cdot 0,5^0=0,5^5=\tfrac{1}{32}}\)
4	\(\mathsf{\tbinom{5}{4}\cdot 0,5^4\cdot 0,5^{5-4}=\frac{5!}{4!\cdot 1!}\cdot 0,5^4\cdot 0,5^1=5\cdot 0,5^5=\tfrac{5}{32}}\)
3	\(\mathsf{\tbinom{5}{3}\cdot 0,5^3\cdot 0,5^{5-3}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot 0,5^3\cdot 0,5^2=10\cdot 0,5^5=\tfrac{10}{32}}\)
2	?
1	?
0	?
Summe	\(\mathsf{\tfrac{32}{32}=1}\)

Vervollständigen Sie zu Übungszwecken. Im Ergebnis muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten eins sein und die Verteilung symmetrisch sein, da \(\mathsf{p=0,5}\).

Danach können Sie die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl von Jungen unmittelbar ablesen. In der Summe müssen die Wahrscheinlichkeiten eins ergeben. Sollte dies nicht der Fall sein, haben Sie entweder ein mögliches Ergebnis vergessen (erinnern Sie sich, die Ergebnismenge sollte erschöpfend sein!), oder Sie haben sich verrechnet.

Da die Erfolgswahrscheinlichkeit im Beispiel \(p=0,5\) ist, muss die Binomialverteilung symmetrisch sein, d. h., die Wahrscheinlichkeiten steigen zunächst zu einem „Hügel” an und fallen danach wieder ab. So können Sie einen evtl. Fehler in Ihren Rechnungen schnell finden.