Beispiel: Disjunkte Zerlegung nach Blutmerkmalen

Andreas Mändle

Partition nach Blutgruppen

Die Blutgruppen A, B, AB und \(0\) bilden eine disjunkte Zerlegung (Partition):

  • A tritt bei \(42\%\),
 \[\mathbb P(A)=0{,}42\]
  • B bei \(10\%\),
 \[\mathbb P(B)=0{,}1\]
  • AB bei \(4\%\),
 \[\mathbb P(AB)=0{,}04\]
  • und \(0\) bei \(44\%\) der Bevölkerung auf.
 \[\mathbb P(0)=0{,}44\]

Partition nach Rhesusfaktor

Eine andere Partition bezüglich der Blutmerkmale ist die in den Rhesusfaktor \(R_+\) und \(R_-\). Menschen mit

  • Blutgruppe A und \(0\) haben mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}85\) den Rhesusfaktor \(R_+\), \[\mathbb P(R_+|A)=\mathbb P(R_+|0)=0{,}85\]
  • mit Blutgruppe B ist die Wahrscheinlichkeit nur noch \(0{,}8\), \[\mathbb P(R_+|B)=0{,}8\]
  • und bei Blutgruppe AB nur noch \(0{,}75\). \[\mathbb P(R_+|AB)=0{,}75\]

Gemeinsame Wahrscheinlicheiten

Also folgt:

\[\mathbb P(A \cap R+)=\mathbb P(A) \cdot \mathbb P(R_+|A)=0{,}42 \cdot 0{,}85=0{,}357\]

\[\mathbb P(B \cap R+)=\mathbb P(B) \cdot \mathbb P(R_+|B)=0{,}1 \cdot 0{,}8=0{,}08\] \[\mathbb P(AB \cap R+)=\mathbb P(AB) \cdot \mathbb P(R_+|AB)=0{,}04 \cdot 0{,}75=0{,}03\]

\[\mathbb P(0 \cap R+)=\mathbb P(0) \cdot \mathbb P(R_+|0)=0{,}44 \cdot 0{,}85=0{,}374\]

Kontingenztafel

Mit dem Multiplikationssatz bekommen wir dann folgende Kontingenztafel:

Blutgruppen-Rhesusfaktor A B AB 0 \(\Sigma\)
\(R_+\) \(0{,}357\) \(0{,}08\) \(0{,}03\) \(0{,}374\) \(0{,}841\)
\(R_-\) \(0{,}063\) \(0{,}02\) \(0{,}01\) \(0{,}066\) \(0{,}159\)
\(\Sigma\) \(0{,}42\) \(0{,}10\) \(0{,}04\) \(0{,}44\) \(1\)

und es ist leicht abzulesen: \[ \mathbb P(R_+) = \mathbb P(A \cap R_+) + \mathbb P(B \cap R_+) + \mathbb P(AB \cap R_+) +\mathbb P(0 \cap R_+)\] \[=0{,}841\]