Beispiel: Multiplikationsregel bei stochastischer Unabhängigkeit

Andreas Mändle

Beispiel: Geburtsgeschlecht

Zwei Kinder werden geboren. Die Wahrscheinlichkeit, der Ereignisse

\(A:=\) ,,erstes Kind ist ein Junge’’ und

\(B:=\) ,,zweites Kind ist ein Junge’’

sei je 50%, also Jungen und Mädchen sind gleich wahrscheinlich.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Jungen sind, wenn A und B unabhängig voneinander sind?

Berechnung

Eine Multiplikationsregel für den Fall unabhängiger Ereignisse ergibt sich direkt aus der Definition:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\] Die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) und auch \(B\) eintreten, ist also gleich dem Produkt aus den Einzelwahrscheinlichkeiten:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25\] Dies gilt nur für stochastisch unabhängige Ereignisse A und B!

Wenn keine Unabhängigkeit vorlieg, d.h. wenn das Ergebnis der zweiten Runde beeinflusst wird vom Ergebnis der ersten, dann benötigen wir bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Wie ist die Wahrscheinlichkeit von \(A\text{ und }B\) (\(P(A \cap B)\)) zu berechnen? Hierfür gibt es die Multiplikationsregel. Danach ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) und auch \(B\) eintreten, gleich dem Produkt aus den Einzelwahrscheinlichkeiten:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Wir wollen uns diese Regel mit einem Beispiel veranschaulichen.

Ich habe zwei Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Jungen sind? In der ersten Geburt wird das Kind mit 50%iger Wahrscheinlichkeit ein Mädchen und mit 50%iger Wahrscheinlichkeit ein Junge, d. h. \(P(A)=0,5\). In der „ersten Runde” bekommen also 50 % der Mütter einen Jungen; für die verbleibenden 50 % interessieren wir uns in diesem Beispiel nicht weiter. Wenn wir mit 100 Frauen starten, sind jetzt noch 50 Frauen dabei. Diese 50 Frauen, die in der „ersten Runde” einen Jungen zur Welt gebracht haben, werden nun erneut schwanger und bekommen wiederum mit 50%iger Wahrscheinlichkeit einen weiteren Jungen. Wir starten also in die „zweite Runde” mit 50 Frauen, von denen die Hälfte wieder einen Jungen bekommt. Dies sind 25 Frauen.

Rechnen wir mit der Multiplikationsregel nach: \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25\] Diese Regel darf nur angewendet werden, wenn die Ereignisse A und B unabhängig voneinander sind. Falls die Ereignisse A und B nicht voneinander unabhängig sind, d. h., wenn das Ergebnis der zweiten Runde beeinflusst wird vom Ergebnis der ersten Runde, dann benötigen wir bedingte Wahrscheinlichkeiten.