Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Andreas Mändle

Beispiel: Geburtsgeschlecht

Bei der ersten Geburt betrage die Wahrscheinlichkeit für Mädchen und Jungen je 50 %:

• \(\mathsf{P(B_1)=P(\text{,,Erstgeburt ist Junge''})=}\) 0,5

• \(\mathsf{P(\overline{B_1})=P(\text{,,Erstgeburt ist Mädchen''})=}\) 0,5

Bei der zweiten Geburt sei die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen 60 %, falls die erste Geburt ein Junge wurde:

• \(\mathsf{P(B_2 | B_1) = P(\text{,,Zweites ist Junge''} | \text{,,Erstes ist Junge''}) =}\) 0,6

• \(\mathsf{P(\overline{B_2} | B_1) = P(\text{,,Zweites ist Mädchen''} | \text{,,Erstes ist Junge''}) =}\) 0,4

und analog für Mädchen \(\mathsf{P(\overline{B_2}|\overline{B_1})=}\) 0,6 und damit \(\mathsf{P(B_2 | \overline{B_1})=}\) 0,4

Dann wäre die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen in der zweiten Geburt (\(B2\), boy als 2. Kind), falls \(B1\) bereits eingetreten ist (\(B1\) = boy als 1. Kind): \(P(B2|B1)=0,6\). Das gleiche gilt für Mädchen (girl): \(P(G2|G1)=0,6\).

Im Wahrscheinlichkeitsbaum sind die möglichen Ausgänge mit ihren bedingten Wahrscheinlichkeiten dargestellt.

Ergebnis

Durch Multiplikation der Äste im Wahrscheinlichkeitsbaum erhält man Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ausgänge, z.B. \(\mathsf{P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) =}\) 0,5 \(\cdot\) 0,6 = 0,3

Jetzt kennen wir die Wahrscheinlichkeit für die zweite Runde. In der ersten Runde hat sich nichts geändert, so dass jetzt: \[P(B1 \cap B2) = P(B1) * P(B2|B1) = 0,5 * 0,6 = 0,3\] Ist dieses Ergebnis plausibel? Wir starten mit 100 Frauen in die erste Runde. Davon bekommen zunächst 50 einen Jungen, die in die zweite Runde gehen. Von ihnen bekommen 60 % wieder einen Jungen. 60 % von 50 Frauen sind 30 Frauen. Die Formel stimmt also.

Ergebnis	Rechenweg	Wahrscheinlichkeit
2 Jungen	0,5 \(\cdot\) 0,6	0,3
2 Mädchen	0,5 \(\cdot\) 0,6	0,3
1 Junge und 1 Mädchen	0,5 \(\cdot\) 0,4	0,2
1 Mädchen und 1 Junge	0,5 \(\cdot\) 0,4	0,2
Summe		1