Varianzminimales Portfolio
Investition in zwei Aktien
Nehmen Sie an, Sie haben einen bestimmten, festen Geldbetrag zur Verfügung, den Sie in Volkswagen- und/oder in BASF-Aktien investieren können. Sie kennen für beide Aktien die erwartete (durchschnittliche) Rendite und die Standardabweichung der Renditen, mit der wir das Risiko der Geldanlage abbilden.
erwartete Rendite
0,23
0,06
Standardabweichung
0,44
0,35
Korrelationskoeffizient \(\mathsf{\rho_{ab}}=\) 0,64
Wie ist ein fixer Investitionsbetrag anteilsmäßig auf beide Aktien aufzuteilen, um das Risiko der Geldanlage zu minimieren?
Geben Sie Mittelwert und Standardabweichung der Rendite des varianzminimalen Portfolios an.
Zunächst ist festzustellen, dass die beiden Aktien zwar positiv korreliert sind, aber der Korrelationskoeffizient ist geringer als 1, so dass sich Diversifikationsgewinne ergeben werden. Wäre der Korrelationskoeffizient negativ und möglichst nahe an -1, wäre der Gewinn durch Kombination beider Aktien in einem Portfolio größer.
Bestimmen der Kovarianz
\[\mathsf{\rho_{ab}=\frac{\sigma_{ab}}{\sigma_a × \sigma_b} \Rightarrow \sigma_{ab}=\rho_{ab} \cdot \sigma_a \cdot \sigma_b}\] Also ist die Kovarianz: \[\mathsf{\sigma_{ab}=0,64\cdot 0,44\cdot 0,35=0,1}\]
Die Zielfunktion ist die Portfoliovarianz \(\mathsf{\sigma_p^2}\) , die minimiert werden soll. \(a\) bezeichnet den Anteil, der in VW investiert wird, und es gilt \(0 \leq a \leq 1\) . Leerverkäufe sind ausgeschlossen.
\[\mathsf{\sigma_p^2=a^2 \sigma_a^2+(1-a)^2 \sigma_b^2+2a(1-a) \sigma_{ab}}→\mathsf{\min!}\]
Minimierungsproblem
Zunächst wird die erste Ableitung nach \(a\) gleich null gesetzt:
\[\mathsf{2a\sigma_a^2-2\sigma_b^2+2a\sigma_b^2+2\sigma_{ab}-4a\sigma_{ab}=0}\]
Einsetzen von \(\mathsf{\sigma_a^2=0,19, \quad \sigma_b^2=0,12, \quad \sigma_{ab}=0,1}\) :
\[\mathsf{0,38a-0,24+0,24a+0,2-0,4a=0}\]
\[\mathsf{\Rightarrow a=0,18; \quad 1-a=0,82}\]
Also minimiert ein Anteil von 18 Prozent VW und 82 Prozent BASF das Risiko.
Ist dies plausibel? BASF weist mit 0,35 ein wesentlich geringeres Risiko auf als Volkswagen. Da aber beide Aktien nicht vollständig korreliert sind, erzielen wir eine Varianzverringerung, indem wir beide in das Portfolio aufnehmen, anstatt nur in BASF zu investieren. Hinzu kommt, dass wir durch die Portfoliobildung eine höhere Rendite erzielen als bei Investition von 100 Prozent in BASF.
Streuung und Rendite des Portfolios
\[\mathsf{\sigma_p^2=0,18^2 \cdot 0,19+0,82^2 \cdot 0,12+2 \cdot 0,18 \cdot 0,82 \cdot 0,10=0,116}\]
\[\mathsf{\sigma_p=0,34}; \quad \quad \mathsf{r_p=0,09}\]
Das Portfoliorisiko liegt unterhalb der Einzelrisiken, da \(\mathsf{\rho_{ab}<1}\) .
Die Rendite beträgt immerhin 9 Prozent, verglichen mit 6 Prozent bei BASF.
Die Probe, dass es sich bei dem Extremwert um ein Minimum handelt wird hier ausgelassen, da die Plausibilitätsbetrachtungen überzeugen.