Beispiel: Vermögensverteilung in Großbritannien 1979

Andreas Mändle

Mittelwert, Median und Modalwert

Vermögen in Großbritannien 1979

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend
0 bis	1.606
1.000 bis	2.927
3.000 bis	2.562
5.000 bis	3.483
10.000 bis	2.876
15.000 bis	1.916
20.000 bis	3.425
50.000 bis	621
100.000 bis	170
200.000 und mehr	59

Beschreiben Sie die Vermögensverteilung. Was fällt auf?

Sie erkennen, dass die Klassen unterschiedlich breit sind. Hierauf müssen Sie bei der Ermittlung des Modalwertes besonders achten. Es fällt auf, dass zahlreiche Personen ein sehr geringes Vermögen haben, während einige wenige Personen über ein großes Vermögen verfügen. Dies ist typisch für Einkommens- und Vermögensverteilungen in westlichen Ländern.

Wie viele Personen wurden insgesamt befragt?

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend
0 bis	1.606
1.000 bis	2.927
3.000 bis	2.562
5.000 bis	3.483
10.000 bis	2.876
15.000 bis	1.916
20.000 bis	3.425
50.000 bis	621
100.000 bis	170
200.000 und mehr	59
Summe	?

Mittelwert bestimmen

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Mittelpunkt des Intervalls \(𝑥_𝑖\)	\(𝑥_𝑖 * 𝑓_𝑖\)
0 bis	1.606	500	803.000
1.000 bis	2.927	2.000	5.854.000
3.000 bis	2.562	4.000	usw.
5.000 bis	3.483	7.500
10.000 bis	2.876	12.500
15.000 bis	1.916	17.500
20.000 bis	3.425	35.000
50.000 bis	621	75.000
100.000 bis	170	150.000
200.000 bis	59	300.000	17.700.000
Summe	19.645	nicht sinnvoll	322.157.500

Ermitteln Sie die Summe der rechten Spalte.

Dies ist Ihr \(n\) im ersten Beispiel.

Mittelwert bestimmen

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Mittelpunkt des Intervalls \(𝑥_𝑖\)	\(𝑥_𝑖 * 𝑓_𝑖\)
0 bis	1.606	500	803.000
1.000 bis	2.927	2.000	5.854.000
3.000 bis	2.562	4.000	usw.
5.000 bis	3.483	7.500
10.000 bis	2.876	12.500
15.000 bis	1.916	17.500
20.000 bis	3.425	35.000
50.000 bis	621	75.000
100.000 bis	170	150.000
200.000 bis	59	300.000	17.700.000
Summe	19.645	nicht sinnvoll	322.157.500

Wie sind die 803.000 zu interpretieren, was bedeuten die 322.157.500?

Mittelwert bestimmen

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Mittelpunkt des Intervalls \(𝑥_𝑖\)	\(𝑥_𝑖 * 𝑓_𝑖\)
0 bis	1.606	500	803.000
1.000 bis	2.927	2.000	5.854.000
3.000 bis	2.562	4.000	usw.
5.000 bis	3.483	7.500
10.000 bis	2.876	12.500
15.000 bis	1.916	17.500
20.000 bis	3.425	35.000
50.000 bis	621	75.000
100.000 bis	170	150.000
200.000 bis	59	300.000	17.700.000
Summe	19.645	nicht sinnvoll	322.157.500

322.157.500/19.645 = 16.399 – Ein Durchschnittsbrite verfügt über knapp 16.400 Pfund.

Im letzten Schritt teilen Sie das gesamte Vermögen (322.157.500 GBP) auf die 19.645 befragten Personen auf:

Median

Es gibt 19.645 Personen, die Mitte liegt bei der 9.823. Person. In welches Intervall fällt diese Person?

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Kumulierte Häufigkeit
0 bis	1.606	1.606
1.000 bis	2.927	1.606+2.927=4.533
3.000 bis	2.562	4.533+2.562=7.095
5.000 bis	3.483	7.095+3.483=10.578
10.000 bis	2.876	usw.
15.000 bis	1.916
20.000 bis	3.425
50.000 bis	621
100.000 bis	170
200.000 bis	59	19.645
Summe	19.645	nicht sinnvoll

Für den Median sortieren Sie die Personen nach der Höhe ihres Vermögens. Es gibt 19.645 Personen, die Mitte liegt bei der 9.823. Person. In welches Intervall fällt diese Person? Sie müssen die Häufigkeiten kumulieren:

Median

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Kumulierte Häufigkeit
0 bis	1.606	1.606
1.000 bis	2.927	1.606+2.927=4.533
3.000 bis	2.562	4.533+2.562=7.095
5.000 bis	3.483	7.095+3.483=10.578
10.000 bis	2.876	usw.
15.000 bis	1.916
20.000 bis	3.425
50.000 bis	621
100.000 bis	170
200.000 bis	59	19.645
Summe	19.645	nicht sinnvoll

Die 9.823. Person fällt in das Intervall 5.000 bis 9.999,99 Pfund. Welches Vermögen unterstellen wir dieser Person?

Wir gehen wiederum davon aus, dass die Vermögen innerhalb eines Intervalls gleichverteilt sind, so dass anzunehmen ist, dass das Vermögen dieser Person auf die Intervallmitte fällt: rund 7.500 Pfund.

Im Vergleich zum Mittelwert von 17.000 Pfund ist das recht gering; der Mittelwert reagiert sensitiv auf die wenigen Wohlhabenden und ist deshalb nach oben verzerrt.

Median

Vermögen in GBP	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Kumulierte Häufigkeit
0 bis	1.606	1.606
1.000 bis	2.927	1.606+2.927=4.533
3.000 bis	2.562	4.533+2.562=7.095
5.000 bis	3.483	7.095+3.483=10.578
10.000 bis	2.876	usw.
15.000 bis	1.916
20.000 bis	3.425
50.000 bis	621
100.000 bis	170
200.000 bis	59	19.645
Summe	19.645	nicht sinnvoll

Median: rund 7.500 Pfund. (bei Unterstellung gleichverteilter Beobachtungen im Intervall 5.000 bis 9.999,99 Pfund)

Modalwert

Vermögen in GBP	Klassenbreite (rund)	Anzahl in Tausend \(𝑓_𝑖\)	Häufigkeitsdichte: Personenzahl/Klassenbreite
0 bis	1.000	1.606	1.606/1.000=1,6
1.000 bis	2.000	2.927	2.927/2.000=1,5
3.000 bis	2.000	2.562	2.562/2.000=1,3
5.000 bis	5.000	3.483	usw.
10.000 bis	5.000	2.876
15.000 bis	5.000	1.916
20.000 bis	30.000	3.425
50.000 bis	50.000	621
100.000 bis	100.000	170
200.000 bis	(200.000)	59
Summe		19.645	nicht sinnvoll

Hier müssen wir eine Annahme treffen, wo das letzte Intervall enden soll. Es zeigt sich bei den letzten Intervallen ein gewisses Muster bezüglich der Klassenbreite: 50-100-?? Ich schlage daher 200 vor; das Intervall endet demnach bei 400.000 Pfund. Wenn Sie einen anderen Wert vorschlagen und diesen plausibel begründen können, wäre dies natürlich ebenso richtig.

Modalwert

Vermögen in GBP	Klassenbreite (rund)	Anzahl in Tausend	Häufigkeitsdichte
0 bis	1e+03	1.606	1,61
1.000 bis	2e+03	2.927	1,46
3.000 bis	2e+03	2.562	1,28
5.000 bis	5e+03	3.483	0,70
10.000 bis	5e+03	2.876	0,58
15.000 bis	5e+03	1.916	0,38
20.000 bis	3e+04	3.425	0,11
50.000 bis	5e+04	621	0,01
100.000 bis	1e+05	170	0,00
200.000 bis	(200.000)	59	0,00

Modalwert: Intervall von 0 bis 999,99 Pfund.

Intervallmittelpunkt bei rund 500 Pfund.

Modalwert (Intervall mit der höchsten Häufigkeitsdichte): Intervall von 0 bis 999,99 Pfund.

Ergebnisse

Lagemaße für die Vermögensverteilung in Großbritannien

	in Pfund, gerundet
Mittelwert	16.400
Median	7.500
Modalwert	500

Beobachtung: Die Lagemaße fallen weit auseinander!

Fassen wir unsere Ergebnisse zusammen:

Der Mittelwert reagiert sensitiv auf die wenigen Wohlhabenden in unserer Stichprobe und fällt deshalb recht hoch aus. Weil seine Aussagekraft in einer so asymmetrischen Verteilung eingeschränkt ist, haben wir darüber hinaus noch Median und Modalwert ermittelt. Der Median teilt die Stichprobe in zwei gleich große Teile (nach Personenzahl, nicht nach Vermögen!). Am häufigsten beobachten wir die untere Vermögensklasse, in der die Personen annahmegemäß nur 500 Pfund besitzen. Bei stark asymmetrischen Verteilungen fallen die drei Lagemaße weit auseinander.