Beispiel: Mittelwert für gruppierte Beobachtungen

Andreas Mändle

Gruppierte Daten einer Altersverteilung

Für die Berechnung des Mittelwertes muss eigentlich jede einzelne Beobachtung bekannt sein. Bei gruppierten Daten ist dies allerdings nicht der Fall. Im Beispiel wüssten wir nur, dass es zwei Studierende im Alter von 21 bis 30 Jahren und eine studierende Person im Alter von 31 bis 40 Jahren gibt. In unserem Beispiel ist es unrealistisch, nur gruppierte Daten vorliegen zu haben. Bei größeren Datensätzen, wie z.B. einer Altersverteilung für alle Einwohner Oldenburgs, wäre es deutlich übersichtlicher die Beobachtungen in einer Häufigkeitstabelle zusammenfassen.

Zusammenfassung der Daten aus dem vorigen Beispiel in form einer Häufigkeitstabelle

Alter in Jahren	Anzahl der Personen
bis 20	0
21 bis 30	2
31 bis 40	1
ab 41	0

Mittelwert für gruppierte Daten

Nun ist lediglich bekannt, dass zwei Personen in das Intervall 21 bis 30 Jahre und eine Person in das nächste Intervall fallen. Um dennoch einen Mittelwert zu bestimmen, stellen wir die Annahme, dass die Beobachtungen innerhalb eines Intervalls nahezu gleich verteilt sind, so dass der Mittelpunkt des Intervalls eine geeignete Näherung für die tatsächliche Beobachtung ist. Dann hätten wir zwei Mal 25,5 Jahre und ein Mal 35,5 Jahre in unserem Datensatz. Mit diesen „hypothetischen” Beobachtungen lässt sich der Mittelwert wie oben beschrieben berechnen: (25,5+25,5+35,5)/3=86,5/3=28,8 Jahre. Durch die Gruppierung der Daten verlieren Sie Informationen, so dass das Ergebnis ungenauer ist als bei exakten Beobachtungen.

Alter in Jahren	Mittleres Alter in Gruppe	Anzahl der Personen
11 bis 20	15,5	0
21 bis 30	25,5	2
31 bis 40	35,5	1
41 bis 60	50,5	0
Summe	2 \(\cdot\) 25,5 + 1 \(\cdot\) 35,5 =86,5
Durchschnitt	\(\frac{86,5}{3}=28,8\)