WBRM_QM - Beispiel: Arithmetischer Mittelwert

Gedankenexperiment

#	Studierende	Alter
1	Sarah Müller	29
2	Mark Schmidt	30
3	Anna Wagner	31

Wie hoch ist das Durchschnittalter?
Sinkt oder steigt das Durchschnittsalter, wenn ich mich selbst zur Gruppe hinzu zähle?

Berechnung

#	Studierende	Alter
1	Sarah Müller	29
2	Mark Schmidt	30
3	Anna Wagner	31
Summe		29 + 30 + 31 = 90
Durchschnitt		90 / 3 = 30

Verallgemeinerung

#	Alter
1	29
2	30
3	31
Summe	29 + 30 + 31 = 90
Durchschnitt	90 / 3 = 30

\(i\)	Beobachtungen
1	\(x_1\)
2	\(x_2\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(n\)	\(x_n\)
Summe	\(∑^n_{𝑖=1}x_i\)
Mittelwert	\(\frac 1 n ∑^n_{𝑖=1}x_i\)

Die Beobachtungen nennen wir \(𝑥_𝑖\), deren Summe für \(n\) Beobachtungen ist dann \(∑^𝑛_{𝑖=1}𝑥_𝑖\) , wobei \(i\) die Beobachtungen durchnummeriert. Für die erste Beobachtung ist \(i=1\), für die zweite Beobachtung ist \(i=2\) und für die letzte (die \(n\)-te) Beobachtung ist \(i=n\). In unserem Beispiel ist \(n=3\), \(𝑥_1 = 29\), \(𝑥_2 = 30\) und \(𝑥_3 = 31\), also \(∑^3_{𝑖=1} 𝑥_𝑖 = 29 + 30 + 31 = 90\). Diese Summe muss nun noch durch die Anzahl der Beobachtungen (\(n=3\)) dividiert werden: \(90/3=30\), also unser Durchschnittsalter.

Wir gehen nun von Ihrer Berechnung des Durchschnittsalters aus und übertragen Ihr Verfahren auf den allgemeinen Fall: Sie müssen zunächst die einzelnen Beobachtungen aufsummieren (im Beispiel: 29+30+31) und diese Summe danach durch die Anzahl der Beobachtungen dividieren (im Beispiel: 3 Studierende). Aus dieser Berechnung ergibt sich das Durchschnittsalter (im Beispiel: 30 Jahre).