Beispiel: Arithmetischer Mittelwert

Andreas Mändle

Gedankenexperiment

#	Studierende	Alter
1	Sarah Müller	29
2	Mark Schmidt	30
3	Anna Wagner	31

• Wie hoch ist das Durchschnittalter?

• Sinkt oder steigt das Durchschnittsalter, wenn ich mich selbst zur Gruppe hinzu zähle?

Nehmen Sie an, es wären drei Studierende in Ihrer Gruppe, deren Alter 29, 30 bzw. 31 Jahre sein soll. Wie hoch ist das Durchschnittsalter in der Gruppe? Was passiert, wenn ich mich zusätzlich zur Gruppe zählen möchte: Steigt oder sinkt das Durchschnittsalter? Dieses Gedankenexperiment zeigt Ihnen, wie der Mittelwert Auskunft über die Lage der Verteilung gibt.

Berechnung

#	Studierende	Alter
1	Sarah Müller	29
2	Mark Schmidt	30
3	Anna Wagner	31
Summe		29 + 30 + 31 = 90
Durchschnitt		90 / 3 = 30

Verallgemeinerung

#	Alter
1	29
2	30
3	31
Summe	29 + 30 + 31 = 90
Durchschnitt	90 / 3 = 30

\(i\)	Beobachtungen
1	\(x_1\)
2	\(x_2\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(n\)	\(x_n\)
Summe	\(∑^n_{𝑖=1}x_i\)
Mittelwert	\(\frac 1 n ∑^n_{𝑖=1}x_i\)

Die Beobachtungen nennen wir \(𝑥_𝑖\), deren Summe für \(n\) Beobachtungen ist dann \(∑^𝑛_{𝑖=1}𝑥_𝑖\) , wobei \(i\) die Beobachtungen durchnummeriert. Für die erste Beobachtung ist \(i=1\), für die zweite Beobachtung ist \(i=2\) und für die letzte (die \(n\)-te) Beobachtung ist \(i=n\). In unserem Beispiel ist \(n=3\), \(𝑥_1 = 29\), \(𝑥_2 = 30\) und \(𝑥_3 = 31\), also \(∑^3_{𝑖=1} 𝑥_𝑖 = 29 + 30 + 31 = 90\). Diese Summe muss nun noch durch die Anzahl der Beobachtungen (\(n=3\)) dividiert werden: \(90/3=30\), also unser Durchschnittsalter.

Wir gehen nun von Ihrer Berechnung des Durchschnittsalters aus und übertragen Ihr Verfahren auf den allgemeinen Fall: Sie müssen zunächst die einzelnen Beobachtungen aufsummieren (im Beispiel: 29+30+31) und diese Summe danach durch die Anzahl der Beobachtungen dividieren (im Beispiel: 3 Studierende). Aus dieser Berechnung ergibt sich das Durchschnittsalter (im Beispiel: 30 Jahre).