Formelsammlung

_Statistik

Author

Prof. Dr. Armin Eichinger

Published

12.07.2024

Deskriptive Statistik 1

Varianz: \(s² = \hat{\sigma}² = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})²}{n-1}\)
Standardabweichung: \(s = \hat{\sigma} = \sqrt{\hat{\sigma}²} = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})²}{n-1}}\)
Variationskoeffizient: \(\operatorname {VarK}(X)={\frac {{\mathrm {Standardabweichung}}(X)}{{\mathrm {Erwartungswert}}(X)}}={\frac {{\sqrt {\operatorname {Var}(X)}}}{\operatorname {E}(X)} = \frac{\textit{SD}}{\overline{x}}}\)
Mittlere absolute Abweichung: \(\textit{MAD} = {\displaystyle d_{\overline {x}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|}\)
Interquartilsabstand = Abstand zwischen 25. und 75. Perzentil: \(\textit{IQA} = \textit{IQR} =x_{0{.}75}-x_{0{.}25}\)
Spannweite: \({\displaystyle R=x_{\mathrm {max} }-x_{\mathrm {min} }}\)

Gauß-Test – Teststatistik: \(z={\frac {{\bar x}-\mu _{0}}{\sigma/\sqrt{n}}}\)
Einstichproben-t-Test – Teststatistik: \(t={\frac {{\bar x}-\mu _{0}}{s/\sqrt{n}}}\)
t-Test für unabhängige Stichproben – Teststatistik: \(t(n_1+n_2-2)={\frac {{\bar x_1}-{\bar x_2}}{s \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}}\),
wobei: \(s = \sqrt{{\frac {(n_1-1)s_{1}^{2}+(n_2-1)s_{2}^{2}}{n_1+n_2-2}}}\) (gepoolte Standardabweichung)
t-Test für abhängige Stichproben – Teststatistik: \(t(n-1) = \frac{\overline{x}_{d}}{s_{d}/\sqrt{n}}\),
wobei \(\overline{x}_{d} = {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{1i} - x_{2i} = {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}\)
und \(s_{d}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-{\overline{x}_{d}})^{2}}}\)
Maß für die Effektstärke: \(r = \sqrt\frac{t^2}{t^2+\textit{df}}\)

\(\chi²\)-Vierfeldertest – Teststatistik: \(\chi^{2}=\sum _{{j=1}}^{2}\sum _{{i=1}}^{2}{\frac {(n_{{ij}}-E_{{ij}})^{2}}{E_{{ij}}}}\)
\(\chi²\)-Test (auch für mehr als 2 Kategorien) – Teststatistik: \(\chi^{2}=\sum _{{j=1}}^{k}\sum _{{i=1}}^{m}{\frac {(n_{{ij}}-E_{{ij}})^{2}}{E_{{ij}}}}\)
Effektstärke – Cramer’s V: \(V = \sqrt{\frac{\chi²}{n(k - 1)}}\), mit k = min(Kategorienzahl)

Kovarianz: \(Cov(x,y) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i} - \overline{x})(y_{i} - \overline{y})}{n-1}\)
Korrelationskoeffizient: \(r(x,y) = \frac{Cov(x,y)}{s_x \cdot s_y}\)
Transformation: \((Fisher\text{-})z = 0.5 \cdot ln{\frac{1 + r}{1 - r}}\)
Rücktransformation: \(r = \frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}\)
Standardfehler Fisher-z: \(\textit{SE}_z = \frac{1}{\sqrt{n - 3}}\)
Teststatistik: \(t(n-2) = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\)

\(QS_{tot} = \sum_{i}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)
\(QS_{mod} = \sum_{l}^{k} n_l(\bar{x}_l - \bar{x})^2\)
\(QS_{res} = \sum_{l}^{k}\sum_{i}^{n_l}(x_{li} - \bar{x}_l)^2\)
Freiheitsgrade des Modells: \(\textit{df}_{mod}\) = Anzahl Faktorstufen - 1
Mittlere Modell-Quadratsumme: \(MQS_{mod} = QS_{mod}/\textit{df}_{mod}\)
Freiheitsgrade der Residuen: \(\textit{df}_{res}\) = n - Anzahl Faktorstufen
Mittlere Residualquadratsumme: \(MQS_{res} = QS_{res}/\textit{df}_{res}\)
Teststatistik: \(F = MQS_{mod}/MQS_{res}\)
Effektstärke: \(\eta^2 = \frac{QS_{mod}}{QS_{tot}} = R^2\)
Effektstärke: \(\omega^2 = \frac{QS_{mod} - df_{mod}MQS_{res}}{QS_{tot}+MQS_{res}}\)

\(QS_{tot} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\) (analog zur ANOVA ohne MW)
\(QS_{mod} = \sum_{l=1}^{k} n(\bar{x}_l - \bar{x})^2\) (analog zur ANOVA ohne MW)
\(QS_{pers} = \sum_{p=1}^{n} k(\bar{x}_{p} - \bar{x})^2\) (das ist neu!)
\(QS_{res} = QS_{tot} - QS_{mod} - QS_{pers}\)
oder
\(QS_{res} = \sum_{l=1}^{k}\sum_{p=1}^{n} (x_{lp} - (\bar{x}_{l} + \bar{x}_{p} - \bar{x}))^2\)
Freiheitsgrade des Modells: \(\textit{df}_{mod}\) = Anzahl Faktorstufen - 1
Mittlere Modell-Quadratsumme: \(MQS_{mod} = QS_{mod}/\textit{df}_{mod}\)
Freiheitsgrade der Residuen: \(\textit{df}_{res}\) = (n - 1)(k - 1)
Mittlere Residualquadratsumme: \(MQS_{res} = QS_{res}/\textit{df}_{res}\)
Teststatistik: \(F = MQS_{mod}/MQS_{res}\)
Effektstärke: \(\eta^2_p = \frac{QS_{mod}}{QS_{mod} + QS_{res} }\)
Tukey HSD \(= q_{(\alpha, k, \textit{df}_{res})} \sqrt{\frac{MQS_{res}}{n}}\)

\(QS_{tot} = \sum_{i}^{n}(x_i - \bar{x})^2\) (analog zur einfaktoriellen ANOVA)
\(QS_{A} = \sum_{a}^{A} n_a(\bar{x}_a - \bar{x})^2\) (Haupteffekt A)
\(QS_{B} = \sum_{b}^{B} n_b(\bar{x}_b - \bar{x})^2\) (Haupteffekt B)
\(QS_{A\times B} = \sum_{a}^{A}\sum_{b}^{B} n_{ab}(\bar{x}_{ab} - (\bar{x}_{a} + \bar{x}_b - \bar{x})) ^2\) (Interaktionseffekt)
\(QS_{res} = \sum_{a}^{A}\sum_{b}^{B} \sum_{i}^{n_{ab}} (x_i - \bar{x}_{ab})^2\) oder
\(QS_{res} = QS_{tot} - QS_{A} - QS_{B} - QS_{A \times B}\)
Freiheitsgrade Faktor A: \(\textit{df}_{A}\) = Anzahl Faktorstufen - 1
Freiheitsgrade Faktor B: \(\textit{df}_{B}\) = Anzahl Faktorstufen - 1
Freiheitsgrade Interaktionseffekt \(\textit{df}_{A \times B}\) = \(\textit{df}_{A} \times \textit{df}_{B}\)
Freiheitsgrade der Residuen: \(\textit{df}_{res}\) = \(n - \textit{df}_{A} - \textit{df}_{B} - \textit{df}_{A \times B} - 1\)
\(MQS_{A} = QS_{A}/\textit{df}_{A}\)
\(MQS_{B} = QS_{B}/\textit{df}_{B}\)
\(MQS_{A \times B} = QS_{A \times B}/\textit{df}_{A \times B}\)
\(MQS_{res} = QS_{res}/\textit{df}_{res}\)
Teststatistik 1: \(F_{A} = MQS_{A}/MQS_{res}\)
Teststatistik 2: \(F_{B} = MQS_{B}/MQS_{res}\)
Teststatistik 3: \(F_{A \times B} = MQS_{A \times B}/MQS_{res}\)