Formelsammlung

_Statistik

Author

Affiliation

Prof. Dr. Armin Eichinger

TH Deggendorf

Deskriptive Statistik 1

• Varianz: $s²=\hat{\sigma }²=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})²}{n-1}$
• Standardabweichung: $s=\hat{\sigma }=\sqrt{\hat{\sigma }²}=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})²}{n-1}}$
• Variationskoeffizient: $\mathrm{VarK}(X)=\frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Erwartungswert}(X)}=\frac{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}{\mathrm{E}(X)}=\frac{\mathit{\text{SD}}}{\bar{x}}$
• Mittlere absolute Abweichung: $\mathit{\text{MAD}}={\displaystyle d_{\bar{x}}(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|x_i-\bar{x}|}$
• Interquartilsabstand = Abstand zwischen 25. und 75. Perzentil: $\mathit{\text{IQA}}=\mathit{\text{IQR}}=x_{0.75}-x_{0.25}$
• Spannweite: ${\displaystyle R=x_{\max }-x_{\min }}$

Deskriptive Statistik 2

• Standardfehler: ${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
• z-Transformation: $z_i=\frac{x_i-\overline{x}}{s}$
• 95%-KI(z): $\overline{x}\pm z_{97.5\mathrm{\%}}\cdot \mathit{\text{SE}}$
• 95%-KI(t): $\overline{x}\pm t_{97.5\mathrm{\%}}(\mathit{\text{df}})\cdot \mathit{\text{SE}}$

Unterschiedstests

• Gauß-Test – Teststatistik: $z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$
• Einstichproben-t-Test – Teststatistik: $t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$
• t-Test für unabhängige Stichproben – Teststatistik: $t(n_1+n_2-2)=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$,
  wobei: $s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$ (gepoolte Standardabweichung)
• t-Test für abhängige Stichproben – Teststatistik: $t(n-1)=\frac{{\bar{x}}_d}{s_d/\sqrt{n}}$,
  wobei ${\bar{x}}_d=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_{1i}-x_{2i}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i$
  und $s_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(d_i-{\bar{x}}_d{)}^2}$
• Maß für die Effektstärke: $r=\sqrt{\frac{t^2}{t^2+\mathit{\text{df}}}}$

Häufigkeitsdaten

• $\chi ²$-Vierfeldertest – Teststatistik: ${\chi }^2=\sum _{j=1}^2\sum _{i=1}^2\frac{(n_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$
• $\chi ²$-Test (auch für mehr als 2 Kategorien) – Teststatistik: ${\chi }^2=\sum _{j=1}^k\sum _{i=1}^m\frac{(n_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$
• Effektstärke – Cramer’s V: $V=\sqrt{\frac{\chi ²}{n(k-1)}}$, mit k = min(Kategorienzahl)

Korrelation

• Kovarianz: $Cov(x,y)=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}$
• Korrelationskoeffizient: $r(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{s_x\cdot s_y}$
• Transformation: $(Fisher\text{-})z=0.5\cdot ln\frac{1+r}{1-r}$
• Rücktransformation: $r=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}$
• Standardfehler Fisher-z: ${\mathit{\text{SE}}}_z=\frac{1}{\sqrt{n-3}}$
• Teststatistik: $t(n-2)=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$

Regressionsanalyse

• Geradensteigung: $b_1=r\cdot {\hat{\sigma }}_y/{\hat{\sigma }}_x$
• Achsenabschnitt: $b_0=\overline{y}-\overline{x}\cdot b_1$
• $Q{S}_{tot}=Q{S}_{mod}+Q{S}_{res}$
• $Q{S}_{tot}=\sum _i(y_i-\overline{y}{)}^2$
• $Q{S}_{res}=\sum _i(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$
• $Q{S}_{mod}=\sum _i(\widehat{y_i}-\overline{y}{)}^2$
• Freiheitsgrade des Modells: $d{f}_{mod}$ = Anzahl Prädiktoren
• Mittlere Modell-Quadratsumme: $MQ{S}_{mod}=Q{S}_{mod}/d{f}_{mod}$
• Freiheitsgrade der Residuen: $d{f}_{res}$ = n - Anzahl Prädiktoren - 1
• Mittlere Residualquadratsumme: $MQ{S}_{res}=Q{S}_{res}/d{f}_{res}$
• Determinationskoeffizient/Bestimmtheitsmaß: $R²=Q{S}_{mod}/Q{S}_{tot}$
• Adjustiertes Bestimmtheitsmaß: $R_{adj}^2=1-(1-R^2)(\frac{n-1}{n-k-1})$
• Teststatistik: $F=MQ{S}_{mod}/MQ{S}_{res}$
• Effektstärkemaß: $f^2=\frac{R^2}{1-R^2}$

ANOVA, einfaktoriell ohne MW

• $Q{S}_{tot}=\sum _i^n(x_i-\overline{x}{)}^2$
• $Q{S}_{mod}=\sum _l^k{n}_l({\overline{x}}_l-\overline{x}{)}^2$
• $Q{S}_{res}=\sum _l^k\sum _i^{n_l}(x_{li}-{\overline{x}}_l{)}^2$
• Freiheitsgrade des Modells: ${\mathit{\text{df}}}_{mod}$ = Anzahl Faktorstufen - 1
• Mittlere Modell-Quadratsumme: $MQ{S}_{mod}=Q{S}_{mod}/{\mathit{\text{df}}}_{mod}$
• Freiheitsgrade der Residuen: ${\mathit{\text{df}}}_{res}$ = n - Anzahl Faktorstufen
• Mittlere Residualquadratsumme: $MQ{S}_{res}=Q{S}_{res}/{\mathit{\text{df}}}_{res}$
• Teststatistik: $F=MQ{S}_{mod}/MQ{S}_{res}$
• Effektstärke: ${\eta }^2=\frac{Q{S}_{mod}}{Q{S}_{tot}}=R^2$
• Effektstärke: ${\omega }^2=\frac{Q{S}_{mod}-d{f}_{mod}MQ{S}_{res}}{Q{S}_{tot}+MQ{S}_{res}}$

ANOVA, einfaktoriell mit MW

• $Q{S}_{tot}=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$ (analog zur ANOVA ohne MW)
• $Q{S}_{mod}=\sum _{l=1}^{k}n({\overline{x}}_l-\overline{x}{)}^2$ (analog zur ANOVA ohne MW)
• $Q{S}_{pers}=\sum _{p=1}^{n}k({\overline{x}}_p-\overline{x}{)}^2$ (das ist neu!)
• $Q{S}_{res}=Q{S}_{tot}-Q{S}_{mod}-Q{S}_{pers}$
  oder
  
• $Q{S}_{res}=\sum _{l=1}^k\sum _{p=1}^n(x_{lp}-({\overline{x}}_l+{\overline{x}}_p-\overline{x}){)}^2$
• Freiheitsgrade des Modells: ${\mathit{\text{df}}}_{mod}$ = Anzahl Faktorstufen - 1
• Mittlere Modell-Quadratsumme: $MQ{S}_{mod}=Q{S}_{mod}/{\mathit{\text{df}}}_{mod}$
• Freiheitsgrade der Residuen: ${\mathit{\text{df}}}_{res}$ = (n - 1)(k - 1)
• Mittlere Residualquadratsumme: $MQ{S}_{res}=Q{S}_{res}/{\mathit{\text{df}}}_{res}$
• Teststatistik: $F=MQ{S}_{mod}/MQ{S}_{res}$
• Effektstärke: ${\eta }_p^2=\frac{Q{S}_{mod}}{Q{S}_{mod}+Q{S}_{res}}$
• Tukey HSD $=q_{(\alpha ,k,{\mathit{\text{df}}}_{res})}\sqrt{\frac{MQ{S}_{res}}{n}}$

ANOVA, zweifaktoriell ohne MW

• $Q{S}_{tot}=\sum _i^n(x_i-\overline{x}{)}^2$ (analog zur einfaktoriellen ANOVA)
• $Q{S}_A=\sum _a^A{n}_a({\overline{x}}_a-\overline{x}{)}^2$ (Haupteffekt A)
• $Q{S}_B=\sum _b^B{n}_b({\overline{x}}_b-\overline{x}{)}^2$ (Haupteffekt B)
• $Q{S}_{A\times B}=\sum _a^A\sum _b^B{n}_{ab}({\overline{x}}_{ab}-({\overline{x}}_a+{\overline{x}}_b-\overline{x}){)}^2$ (Interaktionseffekt)
• $Q{S}_{res}=\sum _a^A\sum _b^B\sum _i^{n_{ab}}(x_i-{\overline{x}}_{ab}{)}^2$ oder
  
• $Q{S}_{res}=Q{S}_{tot}-Q{S}_A-Q{S}_B-Q{S}_{A\times B}$
• Freiheitsgrade Faktor A: ${\mathit{\text{df}}}_A$ = Anzahl Faktorstufen - 1
• Freiheitsgrade Faktor B: ${\mathit{\text{df}}}_B$ = Anzahl Faktorstufen - 1
• Freiheitsgrade Interaktionseffekt ${\mathit{\text{df}}}_{A\times B}$ = ${\mathit{\text{df}}}_A\times {\mathit{\text{df}}}_B$
• Freiheitsgrade der Residuen: ${\mathit{\text{df}}}_{res}$ = $n-{\mathit{\text{df}}}_A-{\mathit{\text{df}}}_B-{\mathit{\text{df}}}_{A\times B}-1$
• $MQ{S}_A=Q{S}_A/{\mathit{\text{df}}}_A$
• $MQ{S}_B=Q{S}_B/{\mathit{\text{df}}}_B$
• $MQ{S}_{A\times B}=Q{S}_{A\times B}/{\mathit{\text{df}}}_{A\times B}$
• $MQ{S}_{res}=Q{S}_{res}/{\mathit{\text{df}}}_{res}$
• Teststatistik 1: $F_A=MQ{S}_A/MQ{S}_{res}$
• Teststatistik 2: $F_B=MQ{S}_B/MQ{S}_{res}$
• Teststatistik 3: $F_{A\times B}=MQ{S}_{A\times B}/MQ{S}_{res}$