Übungsaufgaben Signifikanztest
Statistik 1
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1 Aufgabe – Grundlagen des Signifikanztests
- Erklären Sie in eigenen Worten, was ein Standardfehler mit einer Kennwerteverteilung zu tun hat.
- Welche Form hat die Kennwerteverteilung des Mittelwertes?
- Was bedeutet das Signifikanzniveau \(\alpha\)? Welchen Wert hat es üblicherweise?
- Was ist der Unterschied zwischen einem zweiseitigen und einem einseitigen Test hinsichtlich des Signifikanzniveaus?
a) Der Standardfehler ist die Standardabweichung der Kennwerteverteilung des Mittelwerts. Er gibt an, wie stark die Stichprobenmittelwerte um den wahren Populationsmittelwert streuen würden, wenn man viele Stichproben derselben Größe ziehen würde.
b) Die Kennwerteverteilung des Mittelwerts ist (bei hinreichend großem \(n\) und/oder normalverteilter Population) annähernd normalverteilt.
c) Das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist die maximal tolerierte Irrtumswahrscheinlichkeit, mit der man \(H_0\) verwirft, obwohl sie wahr ist (Fehler 1. Art). Üblich ist \(\alpha = .05\). Je niedriger \(\alpha\) (z. B. 0.01), desto unwahrscheinlicher wird ein signifikantes Ergebnis im Test.
d) Beim zweiseitigen Test wird \(\alpha\) auf beide Enden der Verteilungs aufgeteilt (je \(\alpha/2\)). Beim einseitigen Test liegt die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit bei einem Verteilungsende, d.h. die kritische Grenze liegt damit näher am Mittelwert.
2 Aufgabe – Berechnung des Standardfehlers
Eine Population hat eine bekannte Standardabweichung von \(\sigma = 12\).
Sie ziehen eine Stichprobe der Größe \(n = 36\).
- Berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwertes:
\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
- Interpretieren Sie den Wert: Was bedeutet ein größerer bzw. kleinerer Standardfehler für die Präzision der Schätzung?
- Was passiert mit dem Standardfehler, wenn \(n\) vervierfacht wird? Skizzieren Sie die beiden Verteilungen.
a)
\[
SE = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2.
\]
b)
Ein kleinerer \(SE\) bedeutet eine präzisere Schätzung (die Stichprobenmittelwerte liegen enger um den wahren Mittelwert). Ein größerer \(SE\) bedeutet eine unpräzisere Schätzung (die Stichprobenmittelwerte streuen stärker).
c)
Allgemein gilt: \[
SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
\]
Wenn \(n\) vervierfacht wird, verdoppelt sich \(\sqrt{n}\) und der Standardfehler halbiert sich.
Für \(n = 144\): \[ SE = \frac{12}{\sqrt{144}} = \frac{12}{12} = 1. \]
Die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit \(SE = 2\) ist breiter, mit \(SE = 1\) schmaler (präziser).
3 Aufgabe – Medizinische Intervention
Bei einer Untersuchung einer medizinischen Intervention erhalten wir einen Mittelwert, der vom Populationsmittelwerte 2.3 Standardfehler entfernt ist.
- Ist dieser Unterschied signifikant (\(\alpha = 0.05\)), wenn wir einseitig testen?
- Wie viele Standardfehler muss der Mittelwert entfernt sein, damit er gerade eben signifikant ist, wenn wir einseitig testen?
- Angenommen \(\mu = 100\), \(\sigma = 20\) und \(n = 100\). Wie lautet der kritische Wert für einen einseitigen Test? Wie lauten die beiden kritischen Werte für einen zweiseitigen Test?
- Finden Sie ein Ergebnis, das im einseitigen Fall signifikant ist, im zweiseitigen aber nicht.
- Finden Sie ein Ergebnis, das im zweiseitigen Fall signifikant ist, im einseitigen aber nicht.
a)
Der Abstand von 2,3 Standardfehlern entspricht \(z = 2.3\).
Beim einseitigen Test mit \(\alpha = 0.05\) ist der kritische Wert: \[
z_{krit,\,einseitig} \approx 1.645.
\] Da \(2.3 > 1.645\), ist das Ergebnis einseitig signifikant.
b)
Gerade eben einseitig signifikant ist ein Ergebnis, wenn: \[
z = 1.645.
\] Der Mittelwert muss also ca. 1,645 Standardfehler vom Erwartungswert entfernt sein.
c)
Gegeben: \(\mu = 100\), \(\sigma = 20\), \(n = 100\).
Standardfehler: \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = 2. \]
Einseitiger Test (\(\alpha = 0.05\)): \[ z_{krit,\,einseitig} \approx 1.645, \\ \bar{x}_{krit,\,einseitig} = 100 + 1.645 \cdot 2 \approx 103.29. \]
Zweiseitiger Test (\(\alpha = 0.05 = 2 \times 0.025\); wie brauchen daher \(z_{0.975} =\) 1.96): \[ z_{krit,\,zweiseitig} \approx \pm 1.96. \] Kritische Mittelwerte: \[ \bar{x}_{krit,\,oben} = 100 + 1.96 \cdot 2 \approx 103.92, \\ \bar{x}_{krit,\,unten} = 100 - 1.96 \cdot 2 \approx 96.08. \]
d)
Gesucht: ein Wert, der einseitig signifikant, zweiseitig aber nicht signifikant ist.
Das bedeutet: \[
1.645 < z < 1.96.
\]
Beispiel: \(\bar{x} = 103.5\): \[ z = \frac{103.5 - 100}{2} = 1.75. \]
- Einseitig: \(1.75 > 1.645\) → signifikant.
- Zweiseitig: \(1.75 < 1.96\) → nicht signifikant.
e)
Ein Ergebnis kann zweiseitig signifikant sein, aber im einseitigen Test nicht, wenn in die falsche Richtung getestet wird.
Beispiel: \(\mu_0 = 100\), \(\sigma = 20\), \(n = 100\). Test: \[ H_0: \mu_1 \leq \mu_0 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_1 \gt \mu_0. \] Beobachtung: \(\bar{x} = 95\): \[ z = \frac{95 - 100}{2} = -2.5. \]
- Zweiseitig: \(|z| = 2.5 > 1.96\) → signifikant (starke Abweichung nach unten).
- Einseitig (Richtung \(\mu > 100\)): Ergebnis liegt am „falschen“ Ende → nicht signifikant.
4 Aufgabe – Mathematikleistungen
Eine Schule behauptet, dass ihre Schülerinnen und Schüler im Durchschnitt höhere Mathematikleistungen als der bundesweite Durchschnitt erzielen. Der bundesweite Mittelwert beträgt \(\mu_0 = 500\) Punkte (mit bekanntem \(\sigma = 80\)).
Eine Stichprobe von \(n = 40\) ergibt einen Mittelwert von \(\bar{x} = 525\) Punkten.
Es soll einseitig getestet werden, ob die Schule besser abschneidet.
- Formulieren Sie \(H_0\) und \(H_1\).
- Berechnen Sie den Standardfehler.
- Berechnen Sie den z-Wert.
- Geben Sie den einseitigen kritischen z-Wert an (\(\alpha = 0.05\)).
- Entscheiden Sie, ob der Unterschied signifikant ist.
- Welche Art von Fehler könnte auftreten, wenn Sie \(H_0\) fälschlicherweise verwerfen?
a)
Da höhere Leistungen behauptet werden, testen wir gerichtet nach oben: \[
H_0: \mu \leq 500, \quad H_1: \mu > 500.
\]
b)
Standardfehler: \[
SE = \frac{80}{\sqrt{40}} \approx \frac{80}{6.3249} \approx 12.65.
\]
c)
z-Wert: \[
z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE} = \frac{525 - 500}{12.65} \approx \frac{25}{12.65} \approx 1.98.
\]
d)
Einseitiger kritischer z-Wert bei \(\alpha = 0.05\): \[
z_{krit,\,einseitig} \approx 1.645.
\]
e)
Da \(z \approx 1.98 > 1.645\), ist das Ergebnis einseitig signifikant.
Man würde schlussfolgern, dass die Schule signifikant bessere Leistungen als der bundesweite Durchschnitt aufweist.
f)
Wenn man \(H_0\) verwirft, obwohl sie wahr ist, begeht man einen Fehler 1. Art \(\alpha\)-Fehler bzw. ‘Heureka-Fehler’).
Inhaltlich: Man behauptet, die Schule sei besser, obwohl sie in Wirklichkeit nicht besser ist.