Übungsaufgaben Signifikanztest

Statistik 1

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Prof. Dr. Armin Eichinger

TH Deggendorf

Hinweis: Aktuell in Bearbeitung. Zu diesem Blatt wird es eine Musterlösung geben.

1 Aufgabe – Grundlagen des Signifikanztests

1. Erklären Sie in eigenen Worten, was ein Standardfehler mit einer Kennwerteverteilung zu tun hat.
   
2. Welche Form hat die Kennwerteverteilung des Mittelwertes?
   
3. Was bedeutet das Signifikanzniveau \(\alpha\)? Welchen Wert hat es üblicherweise?
4. Was ist der Unterschied zwischen einem zweiseitigen und einem einseitigen Test hinsichtlich des Signifikanzniveaus?

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2 Aufgabe – Berechnung des Standardfehlers

Eine Population hat eine bekannte Standardabweichung von \(\sigma = 12\).

Sie ziehen eine Stichprobe der Größe \(n = 36\).

1. Berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwertes:
   \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
2. Interpretieren Sie den Wert: Was bedeutet ein größerer bzw. kleinerer Standardfehler für die Präzision der Schätzung?
   
3. Was passiert mit dem Standardfehler, wenn \(n\) vervierfacht wird? Skizzieren Sie die beiden Verteilungen.

3 Aufgabe – p-Wert und Interpretation

Bei einer Untersuchung einer medizinischen Intervention erhalten wir einen Mittelwert, der vom Populationsmittelwerte 2,3 Standardfehler entfernt ist.

1. Ist dieser Unterschied signifikant (\(\alpha\) = 0.05), wenn wir einseitig testen?
2. Wie viele Standardfehler muss der MW entfernt sein, damit er gerade eben signifikant ist, wenn wir einseitig testen?
3. Angenommen \(\mu=100\), \(\sigma=20\) und \(n=100\). Wie lautet der kritische Wert für einen einseitigen Test? Wie lauten die beiden kritischen Werte für einen zweiseitigen Test?
4. Finden Sie ein Ergebnis, das im einseitigen Fall signifikant ist, im zweiseitigen aber nicht.
5. Finden Sie ein Ergebnis, das im zweiseitigen Fall signifikant ist, im einseitigen aber nicht.

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4 Aufgabe – Einseitiger Test

Eine Schule behauptet, dass ihre Schülerinnen und Schüler im Durchschnitt höhere Mathematikleistungen als der bundesweite Durchschnitt erzielen. Der bundesweite Mittelwert beträgt \(\mu_0 = 500\) Punkte (mit bekanntem \(\sigma = 80\)).

Eine Stichprobe von \(n = 40\) ergibt einen Mittelwert von
\(\bar{x} = 525\) Punkten.

Es soll einseitig getestet werden, ob die Schule besser abschneidet.

1. Formulieren Sie \(H_0\) und \(H_1\).
   
2. Berechnen Sie den Standardfehler.
   
3. Berechnen Sie den z-Wert.
   
4. Geben Sie den einseitigen kritischen z-Wert an (\(\alpha\) = 0.05).
   
5. Entscheiden Sie, ob der Unterschied signifikant ist.
   
6. Welche Art von Fehler könnte auftreten, wenn Sie \(H_0\) fälschlicherweise verwerfen?