Signifikanztest

_Statistik

Prof. Dr. Armin Eichinger

TH Deggendorf

20.11.2024

Grundlagen

Hypothesen

  • Ausgangspunkt ist eine Annahme, die eigentlich verworfen (engl. nullify) werden soll: Nullhypothese (\(H_0\))

  • Beispiele:

    • Eine Intervention, Behandlung, Maßnahme hat keinen Effekt
    • Zwei Größen, Variable, Metriken stehen in keinem Zusammenhang
    • Zwei Gruppen, Versuchsbedingungen unterscheiden sich nicht

  • Forschungsannahme in der Alternativhypothese (\(H_1\)); logisches Gegenstück zur \(H_0\)

  • \(H_0\) und \(H_1\) decken den Ergebnisraum vollständig ab; es gibt keine dritte Möglichkeit

  • Berechnung einer Prüfgröße (o. Teststatistik) unter Annahme der Nullhypothese

  • Wenn der Wert der Teststatistik unter Annahme der \(H_0\) “recht unwahrscheinlich” ist, wird sie abgelehnt und stattdessen die \(H_1\) angenommen

  • “recht unwahrscheinlich”: Signifikanzniveau \(\alpha\) ist vorab festzulegen; übliche Werte: \(\alpha=5~\%\) bzw. \(\alpha=1~\%\)

  • Wenn \(p(\textit{Teststatistik}|H_0) > \alpha \rightarrow H_0\),
    wenn \(p(\textit{Teststatistik}|H_0) < \alpha \rightarrow H_1\)

  • Teststatistik: abhängig von der Art des Signifikanztests (\(t\)-Test, \(\chi²\)-Test, ANOVA, Korrelationsanalyse, …)

⚕ Beispiel (1)

  • Es gibt eine etablierte Behandlung (“altes Medikament”) für eine Erkrankung.
  • Nun soll geprüft werden, ob ein “neues Medikament” bessere Heilungserfolge erzielt.
  • \(H_0\): “Das Medikament hat keinen positiven Effekt” (alternativ: Zustand Gruppe(neu) nicht besser als Zustand Gruppe(alt))
    \(H_1\): “Das Medikament hat einen positiven Effekt”
  • Variable (abhängige Variablen – AV), mit der der Zustand gemessen wird, ist intervallskaliert
  • Formulierung der statistischen Hypothesen (z. B.):
    • \(H_0\): \(\mu_{neu} \leq \mu_{alt}\)
    • \(H_1\): \(\mu_{neu} > \mu_{alt}\)
  • Für das alte Medikament ist bekannt: Zustand ist normalverteilt mit bekannten \(\mu\) und \(\sigma\)
  • Verteilung für das neue Medikament ist unbekannt.

⚕ Beispiel (2)

  • Stichprobe n = 100 wird mit neuem Medikament getestet
  • Bestimmung von \(\bar{x}_{neu}\) und \(s_{neu}\) aus den Daten
  • Verständnisfrage: Aus welcher Verteilung stammt \(\bar{x}_{neu}\) nach der \(H_{0}\) (d.h. “kein Effekt”)?
  • Antwort: Aus der Normalverteilung um \(\mu_{alt}\) mit Standarabweichung \(\sigma_{\bar{x}}\)
  • Begründung:
    • Wegen des CLTs sind die Mittelwerte von Stichproben mit n > 30 normalverteilt
    • Stichprobe hier: n = 100
    • “\(H_0\): Kein Effekt” bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert \(\bar{x}_{neu}\) aus dieser Verteilung stammt
  • Wichtige Frage: Wie wahrscheinlich ist ein solcher Mittelwert \(\bar{x}_{neu}\), wenn wir von der Gültigkeit der \(H_0\) ausgehen?

Signifikanztest als Entscheidungsproblem

Kurze Inventur

  • Kennwerteverteilung: Verteilung von Mittelwerten von Stichproben
  • Standardabweichung in diesem Fall: Standardfehler \(\sigma_{\bar{x}}\)
  • Je größer n, desto kleiner \(\sigma_{\bar{x}}\)

Statistische Entscheidungen (1)

Entscheidungskriterium legt \(\alpha\) und damit Annahme- und Ablehnungsbereich der \(H_0\) fest.

Statistische Entscheidungen (2)

  • Richtige Entscheidung: Annahme von \(H_0\) und die \(H_0\) gilt
    (\(1 - \alpha\))

  • Falsche Entscheidung: Annahme von \(H_0\), obwohl \(H_1\) gilt
    (\(\beta\)-Fehler, Fehler 2. Art)

  • Richtige Entscheidung: Ablehnung von \(H_0\) und die \(H_1\) gilt
    (\(1 - \beta\), Teststärke o. Power)

  • Falsche Entscheidung: Ablehnung von \(H_0\), obwohl \(H_0\) gilt
    (\(\alpha\)-Fehler, Fehler 1. Art)

Entscheidungsmatrix:

H0 H1
“H0” \(1 - \alpha\) \(\beta\)-Fehler
“H1” \(\alpha\)-Fehler \(1 - \beta\), Power

Statistische Entscheidungen (3)

  • (Fehler-)Wahrscheinlichkeiten:

    • \(p(\alpha\mbox{-}Fehler) = \alpha = 0.05 = 5~\%\)
      \(\implies 1 - \alpha = 0.95 = 95~\%\)

    • \(p(\beta\mbox{-}Fehler) = \beta = \mbox{?}\)

    • \(1-\beta = \mbox{?}\)

  • Unter der \(H_1\) ist die Lage der Verteilung unbekannt.

  • Manchmal Festlegung: “Ab hier ist eine Intervention sinnvoll, rentabel, …”

H0 H1
“H0” \(1 - \alpha\) \(\beta\)
“H1” \(\alpha\) \(1 - \beta\)

Richtungen von Hypothesen und Tests

Richtungen und Seiten

  • Beispiel einer gerichteten Forschungsypothese: “Unsere Maßnahme führt zu einer Erhöhung des Umsatzes”

  • Beispiel einer ungerichteten Forschungsypothese: “Unsere Maßnahme führt zu einer Änderung der Kundenzufriedenheit”

  • Formulierung der gerichteten (statistischen) Hypothesen:

    • \(H_0\): \(\mu_{1} \leq \mu_{0}\) \(\longleftrightarrow\) \(H_1\): \(\mu_{1} > \mu_{0}\) bzw.
    • \(H_0\): \(\mu_{1} \geq \mu_{0}\) \(\longleftrightarrow\) \(H_1\): \(\mu_{1} < \mu_{0}\)

  • Formulierung der ungerichteten (statistischen) Hypothesen:

    • \(H_0\): \(\mu_{1} = \mu_{0}\) \(\longleftrightarrow\) \(H_1\): \(\mu_{1} \neq \mu_{0}\)

  • Gerichtete Hypothesen führen zu einseitigen Tests

  • Ungerichtete Hypothesen führen zu zweiseitigen Tests

Einseitig – zweiseitig

⚕ Beispiel (3)

  • Forschungshypothese: Das neue Medikament hat einen positiven Effekt auf die relevante Variable (abhängige Variable, AV)

  • \(H_1\): \(\mu_{neu} > \mu_{alt}\).

  • Für das alte Medikament ist bekannt: Die AV nach Behandlung ist normalverteilt mit \(\mu = 120\) und \(\sigma = 40\).

  • Behandlung mit dem neuen Medikament

    • n = 100
    • \(\bar{x}\) = 132, \(s\) = 39.8

  • Wie wahrscheinlich ist ein Wert von 132, wenn \(H_0\) gilt?

Vergleich von Äpfeln mit Birnen:

⚕ Beispiel (4)

  • Parameter der Kennwerteverteilung!

    • Mittelwert: \(\mu_{\bar{x}} = \mu = 120\)
    • Standardfehler: \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{100}} = 4.0\)

  • Z-Transformation: \(z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{132 - 120}{4} = 3.0\)

  • Wie wahrscheinlich ist ein z-Wert von 3.0?

  • Laut Tabelle (vgl. Anhang) ergibt sich ein Wert von 0.13 %

  • Ein Mittelwert von 132 ist damit recht extrem. Er ist kein typischer Vertreter der Nullhypothese. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein solcher Wert (oder ein noch größerer) auftritt, wenn die \(H_0\) gilt, ist 0.13 % und damit kleiner als \(\alpha = 5~\%\)

  • Die Werte der AV durch die neue Medikamentierung unterscheiden sich signifikant von den Werten, die durch die alte Medikamentierung erhalten werden. Wir können die \(H_0\) gleicher Mittelwerte ablehnen. Die neue Medikamentierung führt zu signifikant höheren Werten.

Vergleich von Birnen mit Birnen:

\(H_1\)-Verteilung festgelegt oder bekannt

Ausgangssituation

  • Normalfall:

    • \(H_0\)-Verteilung ist bekannt
    • \(H_1\)-Verteilung ist unbekannt
    • Bei gerichteter Hypothese: Grobe Lage (o. Seite) der \(H_0\)-Verteilung ist bekannt

  • Folge:

    • Wahrscheinlichkeit eines \(\alpha\)-Fehlers ist bekannt, da vorab festgelegt (5 %)
    • Wahrscheinlichkeit eines \(\beta\)-Fehlers ist unbekannt
    • Teststärke (\(1-\beta\)) ist unbekannt

  • Sonderfall: \(H_1\)-Verteilung ist bekannt oder wird festgelegt

  • Beispiel: “Ab einem Unterschied von x ist eine Intervention wirtschaftlich interessant”

  • Folge:

    • Wahrscheinlichkeit eines \(\beta\)-Fehlers kann bestimmt werden
    • Teststärke (\(1-\beta\)) kann bestimmt werden

🕮 Beispiel

  • Die Lernleistung bei einer klassischen Lehrmethode ist normalverteilt: \(\mu_0\) = 40, \(\sigma_0\) = 4.
  • Die Einführung einer neuen Methode ist aufwändig und nur interessant, wenn sie die Leistung um mindestens 3 Punkte verbessert: \(\mu_1\) = 43. Wir nehmen diesen Wert daher als gegeben an. Es ist davon auszugehen, dass die Form der Verteilung sich durch die neue Methode nicht ändert (\(\sigma_1\) = \(\sigma_0\) = 4).
  • Die neue Methode soll an einer Stichprobe von n = 12 Teilnehmenden getestet werden (eigentlich zu klein; aber hier praktikabler).
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir aufgrund des Testergebnisses die \(H_1\) fälschlicherweise ablehnen – also einen \(\beta\)-Fehler begehen?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir aufgrund des Testergebnisses die \(H_0\) korrekterweise ablehnen – also die Teststärke 1 - \(\beta\)?

🕮 Beispiel (2)

  • SE (Kennwerteverteilungen!) = \(\sigma_{\bar{x}}\) = \(\sigma / \sqrt{n} = 4/\sqrt{12} \approx\) 1.155
  • Das Entscheidungskriterium schneidet 95 % der Fläche der \(H_0\)-Verteilung ab
    \(\Rightarrow\) \(z_0\) = 1.65
    \(\Rightarrow\) Kriterium = 40 + 1.65 \(\cdot\) 1.155 = 41.904
  • Welchen z-Wert hat das Kriterium bezüglich der \(H_1\)-Verteilung?
    Antwort: \(z_1 = \frac{41.904 - 43}{1.155} =\) -0.949
  • Laut Tabelle (vgl. Anhang) schneidet das Kriterium 16.88 % der rechten \(H_1\)-Verteilung ab
    \(\Rightarrow\) \(\beta\) = 16.88 % bzw. 1 - \(\beta\) (Power) = 83.12 %

🕮 Beispiel (3)

  • Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein, um eine Teststärke von mindestens 90 % zu erreichen?
  • Vorüberlegung:
    • \(z_0\)-Wert, der 5 % der \(H_0\)-Verteilung abschneidet;
      laut Tabelle: \(z_0\) = 1.65
    • \(z_1\)-Wert, der 10 % der \(H_1\)-Verteilung abschneidet;
      laut Tabelle: \(z_1\) = -1.28
  • Gesucht: Wert x des Kriteriums, der die folgenden beiden Gleichungen erfüllt:
    • \(z_0 = \frac{x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)
    • \(z_1 = \frac{x - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}\)

🕮 Beispiel (4)

  • Auflösen nach x und etwas einfache Rechnerei ergibt:

    • \(\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n} = \frac{\mu_1-\mu_0}{z_0-z_1}\)

    • \(n = (\sigma \cdot \frac{z_0-z_1}{\mu_1-\mu_0})^2 = (4 \cdot \frac{1.65-(\text{-}1.28)}{43-40})^2\) = 15.262

    • \(\sigma_{\bar{x}}\) = \(4/\sqrt{15.262}\) = 1.024

    • Kriterium = \(\mu_0\) + \(z_0 \cdot \sigma_{\bar{x}}\) = \(\mu_1\) + \(z_1 \cdot \sigma_{\bar{x}}\)
      = 40 + 1.65 \(\cdot\) 1.024 = 41.69
      = 43 - 1.28 \(\cdot\) 1.024 = 41.69

  • Antwort: Um eine Teststärke von mind. 90 % zu erreichen, muss die Stichprobengröße n mindestens 16 (aufrunden!) betragen. Das statistische Entscheidungskriterium liegt bei 41.69 (für diese Berechnung verwenden wir den exakten Wert von \(n\)).

Signifikanz und Bedeutsamkeit

Signifikanz \(\neq\) Bedeutsamkeit

  • “Signifikant” bedeutet überzufällig – d.h. unter Annahme der \(H_0\) unwahrscheinlich (\(< 5~\%\))
  • “Bedeutsam” hat einen praktischen Bezug
  • Häufig: Effekte sind signifikant, aber nicht bedeutsam
  • Einflüsse auf die (oder auch “Determinanten der”) Teststärke (Power, Fläche \(1 - \beta\)):
    • Größe des Effekts (\(\approx\) Abstand der beiden Verteilungen): Je größer der Effekt, desto größer die Power
    • Signifikanzniveau \(\alpha\) (bestimmt die Lage des Kriteriums): Je größer \(\alpha\), desto größer die Power
    • Stichprobengröße n (bestimmt den Standardfehler und damit die Breite der Verteilungen): Je größer n, desto größer die Power

Anhang

SNV: Tabelle der z-Werte

Achtung: Die Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte

-.00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 -.06 -.07 -.08 -.09
0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233
-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
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3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

t-Verteilung

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3 -4.5407 -3.1824 -2.3534 -1.6377 -0.7649 0 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407
4 -3.7469 -2.7764 -2.1318 -1.5332 -0.7407 0 0.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469
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23 -2.4999 -2.0687 -1.7139 -1.3195 -0.6853 0 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999
24 -2.4922 -2.0639 -1.7109 -1.3178 -0.6848 0 0.6848 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922
25 -2.4851 -2.0595 -1.7081 -1.3163 -0.6844 0 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851
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97 -2.3654 -1.9847 -1.6607 -1.2903 -0.6770 0 0.6770 1.2903 1.6607 1.9847 2.3654
98 -2.3650 -1.9845 -1.6606 -1.2902 -0.6770 0 0.6770 1.2902 1.6606 1.9845 2.3650
99 -2.3646 -1.9842 -1.6604 -1.2902 -0.6770 0 0.6770 1.2902 1.6604 1.9842 2.3646
100 -2.3642 -1.9840 -1.6602 -1.2901 -0.6770 0 0.6770 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642